Calcule a integral dupla, identificando-a antes com o volume de um sólido. _{R} 3 d A, R=\{(x, y) \mid-2 \leqslant x \leqslant 2,1 \leqslant y \leqslant 6\}
Passo 1
O enunciado fornece a integral dupla sobre a região R:
Identificá-la antes como o volume de um sólido (ou seja, interpretar geometricamente a integral).
Informações relevantes dadas:
A função integranda é a constante 3.
A região R é um retângulo no plano xy com extensão em x de -2 a 2 e em y de 1 a 6.
A largura do retângulo em x é 2-(-2)=4.
A altura do retângulo em y é 6-1=5.
Passo 2
Interpretação geométrica (volume): toda integral dupla
\iint_{R} f(x,y)\,dA
com f(x,y)\ge 0 pode ser vista como o volume do sólido abaixo da superfície z=f(x,y) e acima da base R no plano xy. Aqui a integranda é a constante 3, portanto a superfície é o plano horizontal
z=3.
Logo a integral representa o volume do paralelepípedo (caixa) cuja base é o retângulo R e cuja altura é 3.
Passo 3
Passando para a forma iterada (Fubini): como R é um retângulo e a função é contínua, pode-se escrever
Interpretação final e lembrete prático: geometricamente este volume é o de uma caixa com base rectangular de área 20 e altura 3, portanto volume 60. Na prova, ao ver uma integranda constante sobre uma região simples, já pode pensar: integral = constante \times área da região — isso economiza tempo.