Calcule a integral dupla, identificando-a antes com o volume de um sólido.
_{R} 3 d A, R=\{(x, y) \mid-2 \leqslant x \leqslant 2,1 \leqslant y \leqslant 6\}

Passo 1

O enunciado fornece a integral dupla sobre a região R:
\iint_{R} 3\,dA, \qquad R=\{(x,y)\mid -2\le x\le 2,\;1\le y\le 6\}.
O que é pedido:
  • Calcular o valor dessa integral dupla.
  • Identificá-la antes como o volume de um sólido (ou seja, interpretar geometricamente a integral).
Informações relevantes dadas:
  • A função integranda é a constante 3.
  • A região R é um retângulo no plano xy com extensão em x de -2 a 2 e em y de 1 a 6.
  • A largura do retângulo em x é 2-(-2)=4.
  • A altura do retângulo em y é 6-1=5.

Passo 2

Interpretação geométrica (volume): toda integral dupla
\iint_{R} f(x,y)\,dA
com f(x,y)\ge 0 pode ser vista como o volume do sólido abaixo da superfície z=f(x,y) e acima da base R no plano xy. Aqui a integranda é a constante 3, portanto a superfície é o plano horizontal
z=3.
Logo a integral representa o volume do paralelepípedo (caixa) cuja base é o retângulo R e cuja altura é 3.

Passo 3

Passando para a forma iterada (Fubini): como R é um retângulo e a função é contínua, pode-se escrever
\iint_{R} 3\,dA = \int_{x=-2}^{2}\!\int_{y=1}^{6} 3\,dy\,dx
ou trocando a ordem
\iint_{R} 3\,dA = \int_{y=1}^{6}\!\int_{x=-2}^{2} 3\,dx\,dy.
Propriedade útil: se a integranda é constante, pode-se retirá-la da integral como fator:
\iint_{R} 3\,dA = 3\iint_{R} 1\,dA = 3\cdot \text{(área de }R).á
Então basta calcular a área do retângulo R.

Passo 4

Cálculo da área de R: área de um retângulo = (largura) \times (altura). Já calculamos as dimensões:
\text{largura} = 4,\qquad \text{altura}=5.
Portanto
\text{area}(R)=4\cdot 5=20.

Passo 5

Aplicando a propriedade do passo anterior:
\iint_{R} 3\,dA = 3\cdot \text{area}(R) = 3\cdot 20 = 60.
Também pode-se confirmar fazendo a integração iterada passo a passo: primeiro integrar em y,
\int_{y=1}^{6} 3\,dy = 3y\Big|_{1}^{6} = 3(6-1)=15,
depois em x,
\int_{x=-2}^{2} 15\,dx = 15x\Big|_{-2}^{2} = 15(2-(-2))=15\cdot4=60.

Passo 6

Interpretação final e lembrete prático: geometricamente este volume é o de uma caixa com base rectangular de área 20 e altura 3, portanto volume 60. Na prova, ao ver uma integranda constante sobre uma região simples, já pode pensar: integral = constante \times área da região — isso economiza tempo.

Resposta

60

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