Considere a seguinte função de transferência de Laplace:
H(s)=\frac{s}{s^{2}+3 s+2}
Determine H(z) e a sua equação diferencial utilizando o método do impulso invariante se a frequência de amostragem for 10 Hz .

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência contínua
H(s)=\frac{s}{s^{2}+3s+2}
e pede a equivalente discreta H(z) e a equação em diferenças pelo método do impulso invariante, para frequência de amostragem 10 Hz.
Conteúdo: saber obter a resposta ao impulso contínua h_{c}(t), amostrar h[n]=T\,h_{c}(nT) com T=1/10=0,1 s, calcular H(z)=\sum_{n=0}^{\infty}h[n]z^{-n} e, por fim, escrever a equação em diferenças.

Passo 2

Obtemos h_{c}(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\} por frações parciais.
Escrevemos
\frac{s}{s^{2}+3s+2} =\frac{s}{(s+1)(s+2)} =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}.
Então
s=A(s+2)+B(s+1)=(A+B)\,s+(2A+B),
de onde
\begin{cases} A+B=1,\\\\ 2A+B=0. \end{cases} \implies A=-1,\;B=2.
Logo
H(s)=-\frac{1}{s+1}+\frac{2}{s+2} \quad\Longrightarrow\quad h_{c}(t)=-e^{-t}+2e^{-2t},\quad t\ge0.

Passo 3

Pelo método do impulso invariante, amostramos
h[n]=T\,h_{c}(nT) =0,1\bigl(-e^{-n\,0,1}+2e^{-2n\,0,1}\bigr).
A transformada em z é
H(z)=\sum_{n=0}^{\infty}h[n]\,z^{-n} =0,1\Bigl(-\sum_{n=0}^\infty(e^{-0,1}z^{-1})^n +2\sum_{n=0}^\infty(e^{-0,2}z^{-1})^n\Bigr).
Como \sum_{n=0}^\infty a^n=1/(1-a), vem
H(z) =\frac{-0,1}{1-e^{-0,1}z^{-1}} +\frac{0,2}{1-e^{-0,2}z^{-1}}.

Passo 4

Para obter forma polinomial comum, definimos
a_{1}=e^{-0,1},\quad a_{2}=e^{-0,2}.
Então
H(z) =\frac{-0,1}{1-a_{1}z^{-1}}+\frac{0,2}{1-a_{2}z^{-1}} =\frac{-0,1(1-a_{2}z^{-1})+0,2(1-a_{1}z^{-1})} {(1-a_{1}z^{-1})(1-a_{2}z^{-1})}.
No numerador:
-0,1+0,1a_{2}z^{-1}+0,2-0,2a_{1}z^{-1} =0,1+\bigl(0,1a_{2}-0,2a_{1}\bigr)z^{-1}.
No denominador:
(1-a_{1}z^{-1})(1-a_{2}z^{-1}) =1-(a_{1}+a_{2})z^{-1}+a_{1}a_{2}z^{-2}.
Logo
H(z) =\frac{0,1+\bigl(0,1e^{-0,2}-0,2e^{-0,1}\bigr)z^{-1}} {1-(e^{-0,1}+e^{-0,2})z^{-1}+e^{-0,3}z^{-2}}.

Passo 5

Escrevemos a equação em diferenças. Se
H(z)=\frac{B(z)}{A(z)} =\frac{b_{0}+b_{1}z^{-1}}{1-c_{1}z^{-1}+c_{2}z^{-2}},
então
y[n]-c_{1}y[n-1]+c_{2}y[n-2] =b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1].
Aqui
c_{1}=e^{-0,1}+e^{-0,2},\quad c_{2}=e^{-0,3},
b_{0}=0,1,\quad b_{1}=0,1\,e^{-0,2}-0,2\,e^{-0,1}.
Portanto a equação em diferenças é
y[n]-(e^{-0,1}+e^{-0,2})\,y[n-1]+e^{-0,3}\,y[n-2] =0,1\,x[n]+\bigl(0,1e^{-0,2}-0,2e^{-0,1}\bigr)\,x[n-1].

Resposta

H(z) em forma parcial:
H(z) =\frac{-0,1}{1-e^{-0,1}z^{-1}} +\frac{0,2}{1-e^{-0,2}z^{-1}}.
Em forma polinomial:
H(z) =\frac{0,1+\bigl(0,1e^{-0,2}-0,2e^{-0,1}\bigr)z^{-1}} {1-(e^{-0,1}+e^{-0,2})z^{-1}+e^{-0,3}z^{-2}}.
Equação em diferenças:
y[n]-(e^{-0,1}+e^{-0,2})\,y[n-1]+e^{-0,3}\,y[n-2] =0,1\,x[n]+\bigl(0,1e^{-0,2}-0,2e^{-0,1}\bigr)\,x[n-1].

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