A função de transferência de um determinado filtro é dada por:
H(z)=\frac{0,3430 z^{2}+0,6859 z+0,3430}{z^{2}+0,7075 z+0,7313}
a) Determine o projeto de implementação da rede de filtros usando as formas diretas I e II;
b) Determine as equações diferenciais para implementação.

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência de um filtro digital
H(z)=\frac{0,3430\,z^{2}+0,6859\,z+0,3430}{z^{2}+0,7075\,z+0,7313}
e pede:
(a) o projeto da rede de filtros nas formas diretas I e II;
(b) as equações de diferença para implementação.
Vamos usar a relação entre H(z) e a equação em tempo discreto e depois mostrar como montar os blocos em cada forma direta.

Passo 2

Identificamos os coeficientes das polinomiais de numerador e denominador:
b_0=0,3430,\quad b_1=0,6859,\quad b_2=0,3430,
a_1=0,7075,\quad a_2=0,7313.
Note que o denominador é 1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}.

Passo 3

Escrevemos a equação de diferença geral de um filtro IIR de segunda ordem:
y[n] = -a_1\,y[n-1] - a_2\,y[n-2] + b_0\,x[n] + b_1\,x[n-1] + b_2\,x[n-2].
Substituindo os valores:
y[n] = -0,7075\,y[n-1] - 0,7313\,y[n-2] + 0,3430\,x[n] + 0,6859\,x[n-1] + 0,3430\,x[n-2].

Passo 4

Projeto da Forma Direta I
1. Dois caminhos separados de atrasos em cascata: um para as amostras de entrada x[n] (para gerar x[n-1] e x[n-2]) e outro para as amostras de saída y[n] (para gerar y[n-1] e y[n-2]).
2. No ramo de alimentação direta multiplica-se x[n-k] por b_k e soma:
w_x[n]=b_0\,x[n]+b_1\,x[n-1]+b_2\,x[n-2].
3. No ramo de realimentação multiplica-se y[n-k] por -a_k e soma:
w_y[n]=-\,a_1\,y[n-1]-a_2\,y[n-2].
4. A saída final é
y[n]=w_x[n]+w_y[n].
Este arranjo exige quatro elementos de atraso (dois para x e dois para y).

Passo 5

Projeto da Forma Direta II
1. Usa apenas dois elementos de atraso, compartilhados entre realimentação e alimentação direta.
2. Definimos um estado intermediário v[n] que junta a parte IIR:
v[n]=x[n]\;-\;a_1\,v[n-1]\;-\;a_2\,v[n-2].
3. A saída é obtida pela parte FIR sobre esse estado:
y[n]=b_0\,v[n]+b_1\,v[n-1]+b_2\,v[n-2].
No bloco, você implementa dois atrasos em série acumulando v[n], depois três multiplicadores b_0,b_1,b_2 e um somador; e, simultaneamente, usa esses mesmos atrasos nos retornos com multiplicadores a_1,a_2.

Resposta

a) Projeto das formas diretas
  • Forma Direta I:
    \bullet Dois caminhos de atraso em cascata (para x[n] e para y[n]).
    \bullet Ramo feed-forward com ganhos b_0,b_1,b_2 em cada atraso de x.
    \bullet Ramo feedback com ganhos -a_1,-a_2 em cada atraso de y.
    \bullet Saída y[n]=w_x[n]+w_y[n].
  • Forma Direta II (canônica):
    \bullet Dois atrasos em série que armazenam o estado v[n-1],v[n-2].
    \bullet Equação de estado
    v[n]=x[n]-0,7075\,v[n-1]-0,7313\,v[n-2],
    \bullet Saída
    y[n]=0,3430\,v[n]+0,6859\,v[n-1]+0,3430\,v[n-2].
b) Equações de diferença para implementação
y[n] = -0,7075\,y[n-1] - 0,7313\,y[n-2] + 0,3430\,x[n] + 0,6859\,x[n-1] + 0,3430\,x[n-2].
Ou, na forma de estado (direta II):
\begin{cases} v[n] = x[n] - 0,7075\,v[n-1] - 0,7313\,v[n-2],\\\ y[n] = 0,3430\,v[n] + 0,6859\,v[n-1] + 0,3430\,v[n-2]. \end{cases}

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