Projete um filtro digital Butterworth passa-faixa de 2^{\mathrm{a}} ordem com uma frequência de corte inferior de 1.900 Hz , frequência de corte superior de 2.100 Hz , ripple de banda passante de 3 dB e frequência de amostragem de 8.000 Hz , determine a sua função de transferência H(z) e a sua equação diferencial.

Passo 1

O enunciado pede para projetar um filtro digital Butterworth passa-faixa de 2ª ordem (ou seja, um par de polos conjugados), com frequência de corte inferior f_{c1}=1900 Hz, frequência de corte superior f_{c2}=2100 Hz, atenuação na borda de banda passante de 3 dB (próprio do Butterworth) e frequência de amostragem f_s=8000 Hz.
Conteúdo: projeto por protótipo analógico Butterworth de 1ª ordem + transformação passa-faixa + transformada bilinear.

Passo 2

Calcular as frequências digitais em rad/s e pré-distorcer (pre-warp) para a etapa analógica:
\omega_{p1} \;=\; 2\pi\,\frac{1900}{8000}\;\approx\;1{,}490\;\text{rad/s},
\omega_{p2} \;=\; 2\pi\,\frac{2100}{8000}\;\approx\;1{,}648\;\text{rad/s}.
A pré-distorção pelo método bilinear é
\Omega_{p1} \;=\;\tan\bigl(\tfrac{\omega_{p1}}{2}\bigr)\approx0{,}927,\qquad \Omega_{p2} \;=\;\tan\bigl(\tfrac{\omega_{p2}}{2}\bigr)\approx1{,}085.
Define-se a banda analógica
B \;=\;\Omega_{p2}-\Omega_{p1}\approx0{,}158,\qquad \Omega_0 \;=\;\sqrt{\Omega_{p1}\,\Omega_{p2}}\approx1{,}003.

Passo 3

Usamos como protótipo analógico Butterworth de 1ª ordem
H_{\rm lp}(s)=\frac{1}{s+1},
e aplicamos a transformação passa-faixa
s\;\longrightarrow\;\frac{s^2+\Omega_0^2}{B\,s},
ficando o filtro analógico passa-faixa de 2ª ordem
H_{bp}(s) =\frac{B\,s}{s^2 + B\,s + \Omega_0^2}.

Passo 4

Aplicamos a transformada bilinear
s = \frac{2}{T}\,\frac{z-1}{z+1},\quad T=\frac1{f_s}=\frac1{8000},
e multiplicamos numerador e denominador por (z+1)^2. Definindo K=2/T, obtemos em forma de polinômio em z^{-1}:
H(z) =\frac{B\,K\,(1-z^{-2})} {K^2(1-2z^{-1}+z^{-2})+B\,K(1-z^{-2})+\Omega_0^2(1+2z^{-1}+z^{-2})}.

Passo 5

Agora numericamente:
K=\frac{2}{1/8000}=16000,\quad B\,K=0{,}158\times16000\approx2528,\quad \Omega_0^2\approx1{,}006.
Denominador bruto:
A_0=K^2+B\,K+\Omega_0^2\approx256{,}000{,}000+2528+1\approx256\,002\,529,
A_1=-2K^2+2\Omega_0^2\approx-511\,999\,998,\quad A_2=K^2 -B\,K+\Omega_0^2\approx255\,997\,473.
Normalizando por A_0,
a_1=\frac{A_1}{A_0}\approx-1{,}999862,\quad a_2=\frac{A_2}{A_0}\approx0{,}9999802,
b_0=\frac{B\,K}{A_0}\approx9{,}8768\times10^{-6},\quad b_1=0,\quad b_2=-\,b_0\approx-9{,}8768\times10^{-6}.

Passo 6

A função de transferência final em (z^{-1}) fica
H(z) =\frac{b_0 + b_1\,z^{-1} + b_2\,z^{-2}}% {1 + a_1\,z^{-1} + a_2\,z^{-2}} =\frac{9{,}8768\times10^{-6}\,(1 - z^{-2})} {1 -1{,}999862\,z^{-1} +0{,}9999802\,z^{-2}}.
A equação em diferenças correspondente é
y[n] -1{,}999862\,y[n-1] +0{,}9999802\,y[n-2] =9{,}8768\times10^{-6}\,x[n]\;-\;9{,}8768\times10^{-6}\,x[n-2],
ou isolando y[n]:
y[n] =1{,}999862\,y[n-1] -0{,}9999802\,y[n-2] +9{,}8768\times10^{-6}\,x[n] -9{,}8768\times10^{-6}\,x[n-2].

Resposta

H(z)=\displaystyle\frac{9{,}8768\times10^{-6}\,(1 - z^{-2})}{1 -1{,}999862\,z^{-1} +0{,}9999802\,z^{-2}}
Equação em diferenças:
y[n] =1{,}999862\,y[n-1] -0{,}9999802\,y[n-2] +9{,}8768\times10^{-6}\,x[n] -9{,}8768\times10^{-6}\,x[n-2].

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