Projete um filtro digital Chebyshev passa-alta de 3^{\mathrm{a}} ordem com uma frequência de corte inferior de 2.000 Hz , ripple de banda passante de 1 dB e frequência de amostragem de 8.000 Hz , determine a sua função de transferência H(z) e a sua equação diferencial.

Passo 1

O enunciado pede para projetar um filtro digital passa-alta de Chebyshev de ordem 3, com frequência de corte inferior 2\,000 Hz, ripple de banda de 1 dB e frequência de amostragem f_s=8\,000 Hz.
Conteúdo: projeto via transformação bilinear a partir do protótipo analógico Chebyshev tipo I. Vamos precisar de:
  1. Pré-distorcer (pre-warp) a frequência de corte;
  2. Determinar o protótipo analógico normalizado de ordem 3 com ripple de 1 dB;
  3. Aplicar a transformação passa-alta analógica;
  4. Aplicar a transformação bilinear e normalizar para obter H(z);
  5. Extrair a equação diferencial (diferença) no tempo discreto.

Passo 2

Pré-distorção da frequência de corte \,2\,000 Hz pelo método bilinear:
\Omega_c \;=\; 2\,f_s\;\tan\!\bigl(\tfrac{\pi\,f_c}{f_s}\bigr) \;=\;2\cdot8\,000\;\tan\!\bigl(\tfrac{\pi\cdot2\,000}{8\,000}\bigr) \;=\;16\,000\;\tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) \;=\;16\,000\quad[\mathrm{rad/s}].

Passo 3

Prototipo analógico Chebyshev tipo I de ordem N=3, ripple R_p=1 dB.
  1. \displaystyle \epsilon =\sqrt{10^{R_p/10}-1} =\sqrt{10^{0,1}-1}\approx0,50885.
  2. Cálculo de \alpha=\tfrac{1}{N}\,\mathrm{arcsinh}(1/\epsilon):
\mathrm{arcsinh}(1/\epsilon) =\ln\bigl(1/\epsilon+\sqrt{1/\epsilon^2+1}\bigr)\approx1,437, \quad \alpha\approx0,479.
  1. Ângulos \theta_k=(2k-1)\pi/(2N), k=1,2,3 são 30^\circ,90^\circ,150^\circ.
  2. Polos normalizados s'_k=-\operatorname{sinh}(\alpha)\sin\theta_k + j\,\operatorname{cosh}(\alpha)\cos\theta_k, resultando em
s_1\approx -0,993+ j1,926,\quad s_2\approx -1,986+ j0,\quad s_3\approx -0,993- j1,926.
  1. Ganho H_0 tal que H_{lp}(0)=1 H_0=-s_1s_2s_3\approx9,332.
  2. Assim o protótipo low-pass é
H_{lp}(s')=\frac{9,332}{(s'-s_1)(s'-s_2)(s'-s_3)}.

Passo 4

Transformação passa-alta analógica s'\to\Omega_c/s. O resultado é
H_{hp}(s) =\frac{9,332\,s^3} {\prod_{k=1}^3\bigl(\Omega_c - s_k\,s\bigr)}.
Expandindo e normalizando por 9{,}332, obtemos
H_{hp}(s) =\frac{s^3} {s^3 + 1{,}4820\,s^2 +1{,}089\times10^8\,s +4{,}387\times10^{11}}.

Passo 5

Aplicação da transformação bilinear s=2f_s\,(z-1)/(z+1)=16\,000\,(z-1)/(z+1).
Substituindo s em cada termo e dividindo numerador e denominador por (z+1)^3, chega-se a
H(z) =\frac{(z-1)^3} {(z-1)^3 +0,92625\,(z-1)^2(z+1) +0,42539\,(z-1)(z+1)^2 +0,10713\,(z+1)^3}.
Expandindo e normalizando o polinômio denominador para que o coeficiente de z^3 seja 1:
H(z) =\frac{0,40667\,z^3 \;-\;1,21989\,z^2 \;+\;1,21989\,z \;-\;0,40667} {z^3 \;-\;1,29340\,z^2 \;+\;0,80140\,z \;-\;0,15950}.

Passo 6

Da forma acima, identificamos os coeficientes:
\begin{aligned} b_0&=0,40667,\quad b_1=-1,21989,\quad b_2=1,21989,\quad b_3=-0,40667,\\\ a_1&=1,29340,\quad a_2=-0,80140,\quad a_3=0,15950. \end{aligned}
Note que o sinal dos a_k muda na diferença porque escrevemos
\,y[n] +a_1y[n-1]+a_2y[n-2]+a_3y[n-3] =\cdots.

Passo 7

Equação de diferença (equação diferencial discreta):
\begin{aligned} y[n]&= -a_1\,y[n-1]-a_2\,y[n-2]-a_3\,y[n-3]\\\ &\quad +\,b_0\,x[n]+b_1\,x[n-1]+b_2\,x[n-2]+b_3\,x[n-3]. \end{aligned}
Substituindo os valores:
\begin{aligned} y[n]&=1,29340\,y[n-1]-0,80140\,y[n-2]+0,15950\,y[n-3]\\\ &\quad +\,0,40667\,x[n]\,-\,1,21989\,x[n-1]\,+\,1,21989\,x[n-2]\,-\,0,40667\,x[n-3]. \end{aligned}

Resposta

H(z) = \displaystyle\frac{0,40667\,z^3 -1,21989\,z^2 +1,21989\,z -0,40667} {z^3 -1,29340\,z^2 +0,80140\,z -0,15950}
Equação de diferença:
\begin{aligned} y[n]&=1,29340\,y[n-1]-0,80140\,y[n-2]+0,15950\,y[n-3]\\\ &\quad +\,0,40667\,x[n]\,-\,1,21989\,x[n-1]\,+\,1,21989\,x[n-2]\,-\,0,40667\,x[n-3]. \end{aligned}

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