Projete um filtro digital Chebyshev passa-alta de
ordem com uma frequência de corte inferior de 2.000 Hz , ripple de banda passante de 1 dB e frequência de amostragem de 8.000 Hz , determine a sua função de transferência
e a sua equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede para projetar um filtro digital passa-alta de Chebyshev de ordem 3, com frequência de corte inferior
Hz, ripple de banda de
dB e frequência de amostragem
Hz.
Conteúdo: projeto via transformação bilinear a partir do protótipo analógico Chebyshev tipo I. Vamos precisar de:
Conteúdo: projeto via transformação bilinear a partir do protótipo analógico Chebyshev tipo I. Vamos precisar de:
- Pré-distorcer (pre-warp) a frequência de corte;
- Determinar o protótipo analógico normalizado de ordem 3 com ripple de
dB; - Aplicar a transformação passa-alta analógica;
- Aplicar a transformação bilinear e normalizar para obter
; - Extrair a equação diferencial (diferença) no tempo discreto.
Passo 2
Pré-distorção da frequência de corte
Hz pelo método bilinear:
Passo 3
Prototipo analógico Chebyshev tipo I de ordem
, ripple
dB.
-
- Cálculo de
:
- Ângulos
, são . - Polos normalizados
, resultando em
- Ganho
tal que dá . - Assim o protótipo low-pass é
Passo 4
Transformação passa-alta analógica
. O resultado é
Expandindo e normalizando por
, obtemos
Passo 5
Aplicação da transformação bilinear
.
Substituindo em cada termo e dividindo numerador e denominador por
, chega-se a
Substituindo
Expandindo e normalizando o polinômio denominador para que o coeficiente de
seja
:
Passo 6
Da forma acima, identificamos os coeficientes:
Note que o sinal dos
muda na diferença porque escrevemos
.
Passo 7
Equação de diferença (equação diferencial discreta):
Substituindo os valores:
Resposta
Equação de diferença: