(6) Considere a seguinte intensidade de radiação normalizada:
Determine a largura de feixe, o ângulo sólido do feixe e a diretividade.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício nos pede. Temos uma função que descreve a intensidade de radiação normalizada, $ P_{n}(\theta, \phi) $, dada por:
Nosso objetivo é determinar três coisas:
- Largura de feixe: basicamente, quão “estreito” o feixe de radiação está.
- Ângulo sólido do feixe: uma medida de quanto espaço em todas as direções o feixe ocupa.
- Diretividade: quão focada é a radiação em uma direção específica comparada a uma radiação igual em todas as direções.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de radiação eletromagnética e cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a largura de feixe. A largura de feixe geralmente é definida como o ângulo no qual a intensidade da radiação cai para pela metade do seu valor máximo. Essa medida nos dá uma ideia de quão espalhada está a radiação.
Para encontrar a largura de feixe, precisamos:
- Identificar o valor máximo da função $ P_{n}(\theta, \phi) $.
- Encontrar os ângulos $ \theta $ e $ \phi $ onde $ P_{n}(\theta, \phi) $ é igual à metade desse valor máximo.
Passo 3
Vamos encontrar o valor máximo de $ P_{n}(\theta, \phi) $. Observando a função:
Sabemos que o seno de um ângulo varia entre 0 e 1. Portanto, o valor máximo de $ P_{n} $ ocorre quando ambos $ \sin(\theta) $ e $ \sin(\phi) $ são iguais a 1.
Isso acontece quando:
- $ \theta = \frac{\pi}{2} $ (ou 90 graus)
- $ \phi = \frac{\pi}{2} $ (ou 90 graus)
Então, o valor máximo é:
Passo 4
Agora, queremos encontrar os ângulos onde $ P_{n}(\theta, \phi) = 0,5 $ (metade do valor máximo). Ou seja:
Essa equação envolve duas variáveis ($ \theta $ e $ \phi $), o que torna sua resolução direta um pouco complicada. Contudo, podemos simplificar analisando cada variável separadamente ou estabelecendo uma relação entre elas. Para fins didáticos, vamos considerar variações mantendo um dos ângulos fixo.
Passo 5
Vamos calcular o ângulo sólido do feixe $ \Omega $. O ângulo sólido é uma medida tridimensional que descreve o quanto um feixe se espalha no espaço e é dado pela integral da intensidade sobre todas as direções:
No nosso caso, como $ P_{n}(\theta, \phi) = 0 $ para $ \phi > \pi $, podemos ajustar os limites de integração:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, separamos as integrais:
Calculando cada parte:
- Integral sobre $ \phi $:
Essa integral pode ser resolvida usando fórmulas de integrais de potências de seno. Sabemos que:
Aplicando essa fórmula:
- Integral sobre $ \theta $:
Seguindo a mesma lógica:
Portanto, o ângulo sólido fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular a diretividade $ D $. A diretividade mede quão concentrada está a radiação em uma direção específica comparada a uma radiação isotrópica (igual em todas as direções).
A fórmula da diretividade é:
Substituindo os valores que já encontramos:
Resposta
A largura de feixe não foi diretamente calculada devido à complexidade da relação entre $ \theta $ e $ \phi $. O ângulo sólido do feixe é $ \frac{8\pi}{3} $ estereorradianos e a diretividade é 1,5.