Considere a seguinte lista de conjecturas. Dê uma breve demonstração para aquelas que são verdadeiras e dê um contraexemplo para aquelas que são falsas.
Se , então .
Passo 1
O enunciado trata de sequências reais e afirma que, se
então
O conteúdo principal é a continuidade da função e a definição de limite de sequência usando epsilons.
Passo 2
Para provar que , usamos a definição de limite e a desigualdade triangular para valores absolutos. Seja . Como , existe tal que, para todo ,
Mas sabemos que, para quaisquer reais , vale
Aplicando isso a u = xn e v = a, obtemos
l|;|xn| - |a|r| <= |xn - a| < varepsilon
sempre que n>N. Isso mostra exatamente que limntoinfty|xn| = |a|.
Resposta
A conjectura é verdadeira, pois a função valor absoluto é contínua e satisfaz