Considere a seguinte lista de conjecturas. Dê uma breve demonstração para aquelas que são verdadeiras e dê um contraexemplo para aquelas que são falsas.
Se lim xn=a, então lim |xn|=|a|.

Passo 1

O enunciado trata de sequências reais xn e afirma que, se
limntoinftyxn = a,
então
limntoinfty|xn| = |a|
O conteúdo principal é a continuidade da função f(x)=|x| e a definição de limite de sequência usando epsilons.

Passo 2

Para provar que limntoinfty|xn| = |a|, usamos a definição de limite e a desigualdade triangular para valores absolutos. Seja varepsilon>0. Como limntoinftyxn = a, existe NinN tal que, para todo n>N,
|xn - a| < varepsilon
Mas sabemos que, para quaisquer reais u,v, vale
l|;|u| - |v|r| <= |u - v|
Aplicando isso a u = xn e v = a, obtemos
l|;|xn| - |a|r| <= |xn - a| < varepsilon
sempre que n>N. Isso mostra exatamente que limntoinfty|xn| = |a|.

Resposta

A conjectura é verdadeira, pois a função valor absoluto é contínua e satisfaz
l|;|xn| - |a|r| <= |xn - a|,
garantindo limntoinfty|xn|=|a|.

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