Considere a seguinte lista de conjecturas. Dê uma breve demonstração para aquelas que são verdadeiras e dê um contraexemplo para aquelas que são falsas.
Se (
) converge, então (
) converge.
Se (
Passo 1
O enunciado pergunta se, sempre que a sequência de módulos
converge, a própria sequência
também converge. O tema é convergência de sequências numéricas e comportamento do valor absoluto.
Passo 2
Para refutar a conjectura, basta encontrar um contraexemplo: uma sequência
que não converge, mas cujos módulos
convergem.
Passo 3
Considere a sequência
Então, para todo
, tem-se
logo
Porém
oscila entre
e
e não se aproxima de nenhum valor fixo, ou seja,
não existe.
Resposta
A conjectura é falsa. Um contraexemplo é
, pois
converge a
mas
diverge.