Considere a seguinte lista de conjecturas. Dê uma breve demonstração para aquelas que são verdadeiras e dê um contraexemplo para aquelas que são falsas.
Se ( |xn| ) converge, então ( xn ) converge.

Passo 1

O enunciado pergunta se, sempre que a sequência de módulos l(|xn|r) converge, a própria sequência l(xnr) também converge. O tema é convergência de sequências numéricas e comportamento do valor absoluto.

Passo 2

Para refutar a conjectura, basta encontrar um contraexemplo: uma sequência l(xnr) que não converge, mas cujos módulos l(|xn|r) convergem.

Passo 3

Considere a sequência
xn = (-1)^n
Então, para todo n, tem-se
|xn| = |(-1)^n| = 1,
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limntoinfty |xn| = 1
Porém xn oscila entre -1 e 1 e não se aproxima de nenhum valor fixo, ou seja,
limntoinfty xn
não existe.

Resposta

A conjectura é falsa. Um contraexemplo é xn = (-1)^n, pois l(|xn|r) converge a 1 mas l(xnr) diverge.

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