Considere a seguinte lista de conjecturas. Dê uma breve demonstração para aquelas que são verdadeiras e dê um contraexemplo para aquelas que são falsas.
Se , então .
Passo 1
O enunciado pede analisar a conjectura: “Se , então ”.
Conteúdo: limites de sequências e continuidade da função valor absoluto.
Passo 2
Como a função é contínua em , vale
Passo 3
Para que lvert arvert = a seja sempre verdade precisamos de a>= 0. Se a<0, então lvert arvert neq a.
Passo 4
Contraexemplo para a conjectura geral: tome
xn = -1forall n
Então lim xn=-1, mas limlvert xnrvert=lim 1=1neq -1.
Resposta
A conjectura é falsa em geral. Por exemplo, para xn=-1 temos lim xn=-1 mas limlvert xnrvert=1neq -1.