Considere a seguinte lista de conjecturas. Dê uma breve demonstração para aquelas que são verdadeiras e dê um contraexemplo para aquelas que são falsas.
Se lim xn=a, então lim |xn|=a.

Passo 1

O enunciado pede analisar a conjectura: “Se limntoinftyxn=a, então limntoinftylvert xnrvert =a”.
Conteúdo: limites de sequências e continuidade da função valor absoluto.

Passo 2

Como a função f(x)=lvert xrvert é contínua em R, vale
limntoinftylvert xnrvert =llvertlimntoinftyxnrrvert =lvert arvert

Passo 3

Para que lvert arvert = a seja sempre verdade precisamos de a>= 0. Se a<0, então lvert arvert neq a.

Passo 4

Contraexemplo para a conjectura geral: tome
xn = -1forall n
Então lim xn=-1, mas limlvert xnrvert=lim 1=1neq -1.

Resposta

A conjectura é falsa em geral. Por exemplo, para xn=-1 temos lim xn=-1 mas limlvert xnrvert=1neq -1.

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