O enunciado pede para calcular a integral imprópria
O conteúdo envolve integrais impróprias com singularidade no interior do intervalo e a primitiva básica de . Vamos identificar onde a função é indefinida, dividir a integral, achar a primitiva e analisar os limites.
Passo 2
A função fica indefinida quando , ou seja em , que está no intervalo . Logo escrevemos
dividindo a integral em dois trechos, cada um com um limite próprio.
Passo 3
A primitiva conhecida de é
Portanto
integral0^asec x,dx = l[lnl|sec x + tan xr|r]0^a, integralb^pisec x,dx = l[lnl|sec x + tan xr|r]b^pi
Passo 4
Analisamos os dois limites:
Para atopi2^-: tan xto +infty e sec xto +infty,
integral0^asec x,dx = lnl|sec a+tan ar| - lnl|sec0+tan0r| = lnl(algo que vai a +inftyr) ;to; +infty
Para btopi2^+: tan xto -infty, sec xto -infty, mas l|sec b+tan br|to +infty, enquanto em x=pi temos secpi+tanpi=-1+0=-1, logo ln|-1|=0. Assim
integralb^pisec x,dx = lnl|secpi+tanpir| - lnl|sec b+tan br| = 0 - lnl(algo que vai a +inftyr) ;to; -infty
Nenhum dos dois limites é finito, e a soma não se anula de forma a dar um valor finito.
Resposta
A integral integral0^pisec x,dx diverge, ou seja, não converge a um valor finito.