Exercício 1. Calcule as integrais abaixo:
integral0^pi sec x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^pisec x,dx
O conteúdo envolve integrais impróprias com singularidade no interior do intervalo e a primitiva básica de sec x. Vamos identificar onde a função é indefinida, dividir a integral, achar a primitiva e analisar os limites.

Passo 2

A função sec x = 1/cos x fica indefinida quando cos x=0, ou seja em x=pi/2, que está no intervalo [0,pi]. Logo escrevemos
integral0^pisec x,dx = limatopi2^-integral0^asec x,dx + limbtopi2^+integralb^pisec x,dx,
dividindo a integral em dois trechos, cada um com um limite próprio.

Passo 3

A primitiva conhecida de sec x é
integral sec x,dx = lnl|sec x + tan xr| + C
Portanto
integral0^asec x,dx = l[lnl|sec x + tan xr|r]0^a, integralb^pisec x,dx = l[lnl|sec x + tan xr|r]b^pi

Passo 4

Analisamos os dois limites:
  1. Para atopi2^-:
    tan xto +infty e sec xto +infty,
    integral0^asec x,dx = lnl|sec a+tan ar| - lnl|sec0+tan0r| = lnl(algo que vai a +inftyr) ;to; +infty
  2. Para btopi2^+:
    tan xto -infty, sec xto -infty, mas
    l|sec b+tan br|to +infty, enquanto em x=pi temos
    secpi+tanpi=-1+0=-1, logo ln|-1|=0. Assim
    integralb^pisec x,dx = lnl|secpi+tanpir| - lnl|sec b+tan br| = 0 - lnl(algo que vai a +inftyr) ;to; -infty
Nenhum dos dois limites é finito, e a soma não se anula de forma a dar um valor finito.

Resposta

A integral integral0^pisec x,dx diverge, ou seja, não converge a um valor finito.

Exercícios relacionados