Considere a seguinte lista de conjecturas. Dê uma breve demonstração para aquelas que são verdadeiras e dê um contraexemplo para aquelas que são falsas.
Se
, então
para cada
.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que, se a sequência
converge para
, isto é,
então a sequência deslocada
também converge para
, para cada
.
O conteúdo principal aqui é usar a definição \emph{ -N} de limite de sequência.
O conteúdo principal aqui é usar a definição \emph{
Passo 2
Relembrando a definição: dizemos que
quando, para todo
, existe
tal que
Passo 3
Agora queremos mostrar que
. Seja dado um
.
Pela convergência de , existe
tal que
Pela convergência de
Então, para todo
, temos
, logo
Isso mostra exatamente, pela definição de limite, que
converge para
.
Resposta
A conjectura é verdadeira. Por um deslocamento finito de índice a convergência não se altera, e portanto