Considere a seguinte lista de conjecturas. Dê uma breve demonstração para aquelas que são verdadeiras e dê um contraexemplo para aquelas que são falsas.
Se lim xn=a, então lim xn+k=a para cada k in N.

Passo 1

O enunciado afirma que, se a sequência xn converge para a, isto é,
limntoinfty xn = a,
então a sequência deslocada xn+k também converge para a, para cada k in N.
O conteúdo principal aqui é usar a definição \emph{ epsilon-N} de limite de sequência.

Passo 2

Relembrando a definição: dizemos que limntoinftyxn = a quando, para todo varepsilon>0, existe NinN tal que
se n>= N então |xn - a| < varepsilon ã

Passo 3

Agora queremos mostrar que limntoinftyxn+k = a. Seja dado um varepsilon>0.
Pela convergência de xn, existe N tal que
n>= N implies |xn - a|<varepsilon
Então, para todo n>= N, temos n+k>= N+k>= N, logo
|xn+k-a|<varepsilon
Isso mostra exatamente, pela definição de limite, que xn+k converge para a.

Resposta

A conjectura é verdadeira. Por um deslocamento finito de índice a convergência não se altera, e portanto
limntoinftyxn+k=a

Exercícios relacionados