Considere a seguinte lista de conjecturas. Dê uma breve demonstração para aquelas que são verdadeiras e dê um contraexemplo para aquelas que são falsas.
Se
e
para todo
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado trata de sequências
e
em que
e
para todo
.
O conteúdo é definição de limite de sequência e o uso de desigualdades para “espreitar” .
O conteúdo é definição de limite de sequência e o uso de desigualdades para “espreitar”
Passo 2
Vamos mostrar que
usando a definição de limite.
Seja . Como
, existe
tal que, para todo
,
Seja
Pela hipótese
, para
temos
Isso demonstra diretamente que, dado qualquer
, podemos achar
tal que
sempre que
.