Considere a seguinte lista de conjecturas. Dê uma breve demonstração para aquelas que são verdadeiras e dê um contraexemplo para aquelas que são falsas.
Se lim an=0 e |bn-b| <= an para todo n in N, então lim bn=b.

Passo 1

O enunciado trata de sequências (an) e (bn) em que
limntoinftyan=0 e lvert bn - brvert <= an para todo n.
O conteúdo é definição de limite de sequência e o uso de desigualdades para “espreitar” (bn).

Passo 2

Vamos mostrar que limntoinftybn = b usando a definição de limite.
Seja varepsilon>0. Como limntoinftyan=0, existe NinN tal que, para todo n>= N,
lvert an - 0rvert = an < varepsilon
Pela hipótese lvert bn - brvert <= an, para n>= N temos
lvert bn - brvert <= an < varepsilon
Isso demonstra diretamente que, dado qualquer varepsilon>0, podemos achar N tal que lvert bn - brvert<varepsilon sempre que n>= N.

Resposta

limntoinftybn = b.

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