Determine o intervalo de convergência da série de potências dada.
sumn=1^+infty ln n(x-5)^nn+1

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty ln nn+1(x-5)^n
O conteúdo aqui é o estudo de séries de potências, em especial encontrar o raio de convergência via o Teste da Razão e depois investigar os extremos do intervalo.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Razão. Seja
an = ln nn+1(x-5)^n
Calculamos
L = limntoinfty |an+1an| = limntoinfty |ln(n+1)n+2,(x-5)^n+1,n+1ln n,1(x-5)^n| = |x-5|;limntoinftyln(n+1)ln n,n+1n+2
Como ln(n+1)/ln nto1 e (n+1)/(n+2)to1, segue
L = |x-5|
O teste diz que a série converge se L<1, ou seja, se
|x-5|<1

Passo 3

Da condição |x-5|<1 obtemos o intervalo aberto de convergência
4 < x < 6
Agora precisamos checar o que acontece nos extremos x=4 e x=6.

Passo 4

Em x=6 temos (x-5)^n=1^n=1 e a série torna-se
sumn=1^infty ln nn+1
Como ln nn+1 se comporta como ln nn para grandes n e sum (ln n)/n diverge (por comparação com a integral integral (ln x)/x,dx), a série diverge em x=6.

Passo 5

Em x=4 temos (x-5)^n=(-1)^n e a série é
sumn=1^infty (-1)^n ln nn+1
Aqui bn = ln nn+1 satisfaz bnto0 e é (eventualmente) decrescente para n grande, de modo que pelo Teste da Série Alternada (Leibniz) a série converge condicionalmente em x=4.

Resposta

O intervalo de convergência é
[4,6)

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