Considere a seguinte matriz
(a) Determine os valores de
lambda in R tais que existe
X=[cx y z w] neq 0 que satisfaz
A X=lambda X .
(b) Para os valores de
lambda encontrados na questão anterior, encontre a solução geral do sistema
A X=lambda X
(b) Para os valores de
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
e pede (a) os valores reais de
lambda tais que existe
Xneq0 satisfazendo
isto é, os autovalores de
A , e (b) para cada autovalor, a solução geral do sistema homogêneo
que nos dá os autovetores. Vamos usar as noções de polinômio característico
det(A-lambda I)=0 e de resolução de sistemas lineares.
Passo 2
Formamos
A-lambda I e calculamos o determinante para obter o polinômio característico:
Expandindo
det(A-lambda I) pela quarta coluna e calculando os menores, chega-se a
Passo 3
Fatoramos
Logo os autovalores reais são
Passo 4
Para
lambda=-1 resolvemos
(A+I)X=0 . O sistema reduz a
com
z livre. Assim
é a descrição geral dos autovetores de
lambda=-1 .
Passo 5
Para
lambda=1 resolvemos
(A-I)X=0 . Obtemos
com
z livre. Logo
é a família de autovetores de
lambda=1 .
Passo 6
Para
lambda=2 resolvemos
(A-2I)X=0 . O sistema leva a
com
z,w livres. Assim a solução geral é
que descreve o espaço próprio de dimensão 2 em
lambda=2 .
Resposta
(a) Os autovalores são
sendo
lambda=2 de multiplicidade algébrica 2.
(b) Para
lambda=-1 :
Para
lambda=1 :
Para
lambda=2 :