Considere a seguinte matriz
A=[cccc 0 & 1 & -5 & -3 2 & -2 & -4 & 0 -1 & 2 & 4 & 0 2 & -4 & -4 & 2 ]
(a) Determine os valores de lambda in R tais que existe X=[cx y z w] neq 0 que satisfaz A X=lambda X.
(b) Para os valores de lambda encontrados na questão anterior, encontre a solução geral do sistema
A X=lambda X

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A= 0 & 1 & -5 & -3 2 & -2 & -4 & 0 -1 & 2 & 4 & 0 2 & -4 & -4 & 2
e pede (a) os valores reais de lambda tais que existe Xneq0 satisfazendo
A,X=lambda,X,
isto é, os autovalores de A, e (b) para cada autovalor, a solução geral do sistema homogêneo
(A-lambda I)X=0,
que nos dá os autovetores. Vamos usar as noções de polinômio característico det(A-lambda I)=0 e de resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Formamos A-lambda I e calculamos o determinante para obter o polinômio característico:
A-lambda I = -lambda & 1 & -5 & -3 2 & -2-lambda & -4 & 0 -1 & 2 & 4-lambda & 0 2 & -4 & -4 & 2-lambda
Expandindo det(A-lambda I) pela quarta coluna e calculando os menores, chega-se a
det(A-lambda I) =lambda^4-4lambda^3+3lambda^2+4lambda-4

Passo 3

Fatoramos
lambda^4-4lambda^3+3lambda^2+4lambda-4=(lambda-1)(lambda-2)^2(lambda+1)
Logo os autovalores reais são
lambda=-1, lambda=1, lambda=2 (mu<iplicidade algébrica 2) é

Passo 4

Para lambda=-1 resolvemos (A+I)X=0. O sistema reduz a
x=z, y=-2z, w=-2z,
com z livre. Assim
X=t1-21-2, tin R,
é a descrição geral dos autovetores de lambda=-1.

Passo 5

Para lambda=1 resolvemos (A-I)X=0. Obtemos
x=-z, y=-2z, w=-2z,
com z livre. Logo
X=t-1-21-2, tin R,
é a família de autovetores de lambda=1.

Passo 6

Para lambda=2 resolvemos (A-2I)X=0. O sistema leva a
x=-4z-2w, y=-3z-w,
com z,w livres. Assim a solução geral é
X=z-4-310 ;+; w-2-101, z,win R,
que descreve o espaço próprio de dimensão 2 em lambda=2.

Resposta

(a) Os autovalores são
lambdain-1,;1,;2,
sendo lambda=2 de multiplicidade algébrica 2.
(b) Para lambda=-1:
X=t1-21-2
Para lambda=1:
X=t-1-21-2
Para lambda=2:
X=z-4-310 ;+; w-2-101

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