Considere a seguinte matriz
A=[cccc 0 & 1 & -5 & -3 2 & -2 & -4 & 0 -1 & 2 & 4 & 0 2 & -4 & -4 & 2 ]
Determine os autovalores da matriz A.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A= 0 & 1 & -5 & -3 2 & -2 & -4 & 0 -1 & 2 & 4 & 0 2 & -4 & -4 & 2
e pede os autovalores. Para encontrá-los, devemos resolver
det(A - lambda I)=0,
isto é, calcular o polinômio característico de grau 4 e achar suas raízes.

Passo 2

Formamos
A - lambda I = -lambda & 1 & -5 & -3 2 & -2-lambda & -4 & 0 -1 & 2 & 4-lambda & 0 2 & -4 & -4 & 2-lambda
Como há dois zeros na última coluna, é conveniente expandir det(A-lambda I) por cofactores nessa coluna.

Passo 3

Pela expansão na coluna 4,
det(A-lambda I) =3,M1,4+(2-lambda),M4,4,
onde
M1,4 =det 2 & -2-lambda & -4 -1 & 2 & 4-lambda 2 & -4 & -4 , M4,4 =det -lambda & 1 & -5 2 & -2-lambda & -4 -1 & 2 & 4-lambda

Passo 4

Calculando cada menor por regra de Sarrus ou cofactores:
M1,4=2lambda^2-8lambda+8, M4,4=-lambda^3+2lambda^2+7lambda-14
Logo
det(A-lambda I) =3(2lambda^2-8lambda+8)+(2-lambda)(-lambda^3+2lambda^2+7lambda-14) =lambda^4-4lambda^3+3lambda^2+4lambda-4

Passo 5

Para resolver
lambda^4-4lambda^3+3lambda^2+4lambda-4=0
testamos raízes inteiras e achamos lambda=1 e lambda=-1. Dividindo sucessivamente, fica
(lambda-1)(lambda+1)(lambda^2-4lambda+4) =(lambda-1)(lambda+1)(lambda-2)^2

Resposta

Os autovalores de A são
lambda=-1, lambda=1, lambda=2 (mu<iplicidade algébrica 2) é

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