Considere o vetor .
Considere P=(raiz3, 3). Escreva P na base S.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o vetor u1 = (12, raiz32) e o ponto P = (raiz3, 3). A questão pede para escrever o ponto P na base S. Isso envolve conhecimentos de base vetorial e representação de vetores em diferentes bases. Vamos precisar entender como expressar um vetor em termos de uma nova base.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base em um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores lineares e independentes que podem ser usados para representar qualquer vetor no espaço como uma combinação linear desses vetores. No nosso caso, a base S tem pelo menos o vetor u1.
Passo 3
Para escrever o ponto P na base S, precisamos encontrar coeficientes a e b tais que:
P = a cdot u1 + b cdot u2
Onde u2 é o segundo vetor da base S. Entretanto, como apenas u1 foi fornecido, vamos assumir que a base S é formada por u1 e um vetor ortogonal a u1, que chamaremos de u2.
Passo 4
Vamos calcular u2 de forma que seja ortogonal a u1. Sabemos que dois vetores são ortogonais se o produto interno deles é zero:
u1 cdot u2 = 0
Dado u1 = (12, raiz32), podemos escolher u2 = (-raiz32, 12), que é ortogonal a u1.
Passo 5
Agora que temos os vetores da base S, podemos montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes a e b que satisfazem:
a cdot 12 + b cdot (-raiz32) = raiz3 a cdot raiz32 + b cdot 12 = 3
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiramente, multiplicamos a primeira equação por 2 para eliminar os denominadores:
a - b cdot raiz3 = 2raiz3 (1)
E multiplicamos a segunda equação por 2:
a cdot raiz3 + b = 6 (2)
Passo 7
Agora, podemos resolver esse sistema. Da equação (1):
a = 2raiz3 + b cdot raiz3
Substituindo na equação (2):
(2raiz3 + b cdot raiz3) cdot raiz3 + b = 6 6 + 3b + b = 6 4b = 0 b = 0
Passo 8
Com b = 0, substituímos na equação (1):
a - 0 = 2raiz3 a = 2raiz3
Resposta
Portanto, o ponto P = (raiz3, 3) na base S é representado pelos coeficientes (2raiz3, 0).