(a) Seja A uma matriz inversível de ordem n times n. Mostre que, para qualquer matriz B de ordem m times n, existe uma matriz X de ordem n times m tal que A cdot X=B.

Passo 1

O problema diz que A é invertível de ordem ntimes n e que B é uma matriz de ordem compatível, isto é, ntimes m. A tarefa é encontrar X de ordem ntimes m tal que
A,X = B
O conteúdo que vamos usar é a definição de matriz inversa e a propriedade de associatividade de produtos matriciais.

Passo 2

Como A é invertível, existe A^-1 de ordem ntimes n satisfazendo
A^-1A = In e AA^-1 = In
Para isolar X na equação AX=B, basta multiplicar pela esquerda por A^-1.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados de AX=B por A^-1 e usando associatividade, obtemos
A^-1(A X) = A^-1B Longrightarrow (A^-1A),X = A^-1B

Passo 4

Como A^-1A = In, a equação reduz-se a
In,X = A^-1B Longrightarrow X = A^-1B
Note que ,A^-1 tem ordem ntimes n e B tem ordem ntimes m, logo X tem ordem ntimes m, conforme exigido.

Passo 5

Por fim, verificamos que essa escolha funciona:
A,X = A(A^-1B) = (AA^-1)B = In,B = B
Portanto, X = A^-1B satisfaz AX=B.

Resposta

A solução geral é
X = A^-1B

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