(a) Seja
uma matriz inversível de ordem
. Mostre que, para qualquer matriz
de ordem
, existe uma matriz
de ordem
tal que
.
Passo 1
O problema diz que
é invertível de ordem
e que
é uma matriz de ordem compatível, isto é,
. A tarefa é encontrar
de ordem
tal que
O conteúdo que vamos usar é a definição de matriz inversa e a propriedade de associatividade de produtos matriciais.
Passo 2
Como
é invertível, existe
de ordem
satisfazendo
Para isolar
na equação
, basta multiplicar pela esquerda por
.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados de
por
e usando associatividade, obtemos
Passo 4
Como
, a equação reduz-se a
Note que
tem ordem
e
tem ordem
, logo
tem ordem
, conforme exigido.
Passo 5
Por fim, verificamos que essa escolha funciona:
Portanto,
satisfaz
.
Resposta
A solução geral é