• Considere a seguinte matriz P de mudança da base beta para a base beta^prime
Pbeta beta^prime=(rrr 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 )
Encontre:
(a) [v]beta, sabendo que [v]beta^prime=(r-1 2 3).
(b) [v]beta^prime, sabendo que [v]beta=(r-1 2 3).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de mudança de base beta para beta':
Pbetatobeta'=1&1&0[6pt]0&-1&1[6pt]1&0&-1
Parte (a) pede [v]beta sabendo [v]beta', e parte (b) pede [v]beta' sabendo [v]beta. A relação fundamental é
[v]beta'=Pbetatobeta',[v]beta
Para (a) precisaremos do inverso P^-1betatobeta'.]

Passo 2

Vamos calcular P^-1. Primeiro o determinante:
det(P) =1det-1&10&-1 -1det0&11&-1 =1cdot(1)-1cdot(-1) =2
Em seguida formamos a matriz dos cofatores, transposta (adjugada) e dividimos por 2, obtendo
P^-1 =12 1&1&1[4pt] 1&-1&-1[4pt] 1&1&-1 ]

Passo 3

(a) Para achar [v]beta usamos
[v]beta =P^-1,[v]beta'
Como
[v]beta'=-1[4pt]2[4pt]3, 1&1&1 1&-1&-1 1&1&-1 -123 = -1+2+3-1-2-3-1+2-3 = 4-6-2,
segue
[v]beta =124-6-2 =2-3-1 ]

Passo 4

(b) Para achar [v]beta' usamos direto
[v]beta'=P,[v]beta
Dado
[v]beta=-1[4pt]2[4pt]3, 1&1&00&-1&11&0&-1 -123 = -1+2-2+3-1-3 = 11-4,
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[v]beta'=11-4
]

Resposta

(a) [v]beta=2-3-1
(b) [v]beta'=11-4

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