Se U e V forem matrizes n times n, então a fórmula
lang<= U, Vrang<==tr(U^T V)
define um produto interno no espaço vetorial Mn n
Determine o cosseno do ângulo entre os seguintes vetores:
A=[rr2 & 6 1 & -3], B=[ll3 & 2 1 & 0]

Passo 1

O enunciado define o produto interno em Mn n por
lang<= U,Vrang<= = trl(U^TVr)
e pede o cosseno do ângulo theta entre
A=2 & 6 1 & -3, B=3 & 2 1 & 0
Para isso, usaremos a fórmula
costheta = lang<= A,Brang<=|A|;|B|,
onde |X| = raizlang<= X,Xrang<=.

Passo 2

Calcular lang<= A,Brang<=. Como
lang<= A,Brang<= = tr(A^T B), isto equivale a somar produto de entradas correspondentes:
lang<= A,Brang<= =2cdot3 + 6cdot2 + 1cdot1 + (-3)cdot0 =6 + 12 + 1 + 0 =19

Passo 3

Calcular |A| e |B|.
|A|^2 = tr(A^T A) = 2^2+6^2+1^2+(-3)^2 = 4 +36+1+9 =50,
logo |A|=raiz50=5raiz2.
|B|^2 = tr(B^T B) = 3^2+2^2+1^2+0^2 = 9+4+1+0 =14,
logo |B|=raiz14.

Passo 4

Substituir na fórmula do cosseno:
costheta = 19(5raiz2),(raiz14) = 195raiz28 = 1910raiz7

Resposta

costheta = 1910raiz7

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