Considere as as seguintes bases de R^2
S1=(1,-2),(3,-4), S2=(1,3),(3,8)
(a) Ache as coordenadas de um vetor arbitrário v=(a, b) em R^2 em relação a base S1.
(b) Encontre a matriz P de mudança da base S1 para a base S2.
(c) Ache as coordenadas de um vetor arbitrário v=(a, b) em R^2 em relação a base S2.
(d) Encontre a matriz Q de mudança da base S2 para a base S1.
(e) Verifique que Q=P^-1.
(f) Mostre que P[v]S1=[v]S2, para qualquer vetor v=(a, b).
(g) Mostre que P^-1[v]S2=[v]S1, para qualquer vetor v=(a, b).

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases de R^2,
S1=(1,-2),(3,-4), S2=(1,3),(3,8),
e pede:
  1. as coordenadas de v=(a,b) em cada base;
  2. a matriz P que leva coordenadas de S1 para S2;
  3. a matriz Q que leva coordenadas de S2 para S1;
  4. verificar que Q=P^-1;
  5. mostrar que P[v]S1=[v]S2 e P^-1[v]S2=[v]S1.
Para resolver, vamos:
  • resolver sistemas lineares para expressar (a,b) em cada base;
  • usar essas expressões para montar as colunas de P e Q;
  • calcular o inverso de P e comparar com Q;
  • verificar as igualdades matriciais.

Passo 2

Coordenadas de
Isso dá o sistema
Da primeira equação (x=a-3y]. Substituindo na segunda:
Logo

Passo 3

Matriz
Para :
Portanto

Passo 4

Coordenadas de
ou seja
De (\alpha=a-3\beta] e substituindo:
Logo

Passo 5

Matriz
Para :
Logo

Passo 6

Verificação de Q=P^-1.
O determinante de P é
det P = (-14)(13)-(-36)(5)=-182+180=-2
Logo
P^-1=tfrac1det P 13 & 36 -5 & -14 =-tfrac12 13 & 36 -5 & -14 = -tfrac132 & -18 tfrac52 & 7 =Q

Passo 7

Mostramos que .
Escrevendo
temos

Passo 8

De modo análogo,
P^-1[v]S2=Q[v]S2=[v]S1,
o que conclui a verificação das relações pedidas.

Resposta

(a) [v]S1=l(tfrac-4a-3b2,;a+tfrac b2r)
(b) P=-14 & -365 & 13
(c) [v]S2=l(-8a+3b,;3a-br)
(d) Q=-tfrac132 & -18tfrac52 & 7
(e) De fato Q=P^-1
(f) P[v]S1=[v]S2
(g) P^-1[v]S2=[v]S1

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