(a) Ache as coordenadas de um vetor arbitrário em em relação a base .
(b) Encontre a matriz de mudança da base para a base .
(c) Ache as coordenadas de um vetor arbitrário em em relação a base .
(d) Encontre a matriz de mudança da base para a base .
(e) Verifique que .
(f) Mostre que , para qualquer vetor .
(g) Mostre que , para qualquer vetor .
Passo 1
O enunciado nos dá duas bases de ,
e pede:
as coordenadas de em cada base;
a matriz que leva coordenadas de para ;
a matriz que leva coordenadas de para ;
verificar que ;
mostrar que e .
Para resolver, vamos:
resolver sistemas lineares para expressar em cada base;
usar essas expressões para montar as colunas de e ;
calcular o inverso de e comparar com ;
verificar as igualdades matriciais.
Passo 2
Coordenadas de
Isso dá o sistema
Da primeira equação (x=a-3y]. Substituindo na segunda: