• Considere as bases
S=(1,2,0),(1,3,2),(0,1,3), T=(1,0,1),(2,1,1),(3,1,-1)
do espaço R^3. Determine:
(a) A matriz P de mudança da base T para a base S.
(b) Encontre a matriz Q de mudança da base S para a base T.
(c) As coordenadas, nas duas bases, dos vetores z1=(1,1,1) e z2=(5,2,0).

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3:
S = v1=(1,2,0),;v2=(1,3,2),;v3=(0,1,3), T = w1=(1,0,1),;w2=(2,1,1),;w3=(3,1,-1)
Precisamos de mudança de base e coordenadas de vetores. Vamos usar o fato de que a matriz de mudança de T para S, chamada P, tem colunas que são as coordenadas de wj na base S, e a matriz de mudança inversa Q=P^-1 dá as coordenadas de vi na base T. Depois, expressamos os vetores z1 e z2 em cada base resolvendo sistemas lineares.

Passo 2

Para achar P, escrevemos cada wj como combinação a,v1 + b,v2 + c,v3. Montamos o sistema
a,(1,2,0)+b,(1,3,2)+c,(0,1,3)=wj,
resolvendo para (a,b,c). Os resultados são:
w1:(1,0,1)mapsto (a,b,c)=(8,,-7,;5), w2:(2,1,1)mapsto (12,,-10,;7), w3:(3,1,-1)mapsto (17,,-14,;9)
Logo,
P = 8 & 12 & 17 -7 & -10 & -14 5 & 7 & 9

Passo 3

Para achar Q (mudança de S para T), escrevemos cada vi como combinação a,w1+b,w2+c,w3. Resolvendo
a,(1,0,1)+b,(2,1,1)+c,(3,1,-1)=vi,
obtemos
v1mapsto (-tfrac83,;tfrac73,;-tfrac13), v2mapsto (-tfrac113,;tfrac133,;-tfrac43), v3mapsto (-tfrac23,;tfrac73,;-tfrac43)
Assim,
Q = P^-1 = -tfrac83 & -tfrac113 & -tfrac23[6pt] tfrac73 & tfrac133 & tfrac73[3pt] -tfrac13 & -tfrac43 & -tfrac43 ]

Passo 4

Para as coordenadas de z1=(1,1,1) e z2=(5,2,0):
1. Na base S, resolvemos a,v1+b,v2+c,v3=z.
  • z1mapsto (a,b,c)=(5,,-4,;3).
  • z2mapsto (a,b,c)=(29,,-24,;16).
    2. Na base T, resolvemos a,w1+b,w2+c,w3=z.
  • z1mapsto (a,b,c)=(-tfrac23,;tfrac43,;-tfrac13).
  • z2mapsto (a,b,c)=(0,;1,;1).

Resposta

(a)
P = 8 & 12 & 17 -7 & -10 & -14 5 & 7 & 9
(b)
Q = P^-1 = -tfrac83 & -tfrac113 & -tfrac23[6pt] tfrac73 & tfrac133 & tfrac73[3pt] -tfrac13 & -tfrac43 & -tfrac43
(c) Coordenadas de z1 e z2:
Em S:
[z1]S = (5,,-4,,3), [z2]S = (29,,-24,,16)
Em T:
[z1]T = (-tfrac23,;tfrac43,;-tfrac13), [z2]T = (0,,1,,1) ]

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