Responda as seguintes questões:
(1) A é diagonalizável? Em caso afirmativo, encontre a matriz diagonal correspondente e a matriz da transformação linear associada a ela;
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
A=2 & -1 -1 & 2
e nos pergunta se A é diagonalizável, e em caso afirmativo, qual é a matriz diagonal correspondente e qual é a matriz da transformação linear associada a ela em uma base de autovetores. O conteúdo usado é diagonalização de matrizes simétricas: calcular polinômio característico, encontrar autovalores e autovetores, montar a matriz de mudança de base P e a matriz diagonal D tal que
Resolvendo lambda^2 - 4lambda +3=0 por fatoração ou fórmula de Bhaskara, vemos que
lambda1=3, lambda2=1
São dois autovalores distintos, o que já garante que A é diagonalizável (pois tem dois autovalores diferentes em R^2).
Passo 4
Agora achamos um autovetor para cada autovalor:
Para , resolvemos
que leva à relação . Tomamos, por exemplo,
Para , resolvemos
que leva a . Tomamos
Os vetores e são linearmente independentes, formando uma base de autovetores.
Passo 5
Montamos a matriz de mudança de base P cujas colunas são v1 e v2, e a matriz diagonal D com os autovalores na diagonal, na mesma ordem:
P = 1 & 1 -1 & 1, D = 3 & 0 0 & 1
De fato, verifica-se que
P^-1AP = D,
o que mostra a diagonalização de A. A matriz da transformação linear Tcolon R^2toR^2, T(x)=Ax, quando expressa na base v1,v2 de autovetores, é precisamente D.
Resposta
A é diagonalizável; uma diagonalização é
P = 1 & 1 -1 & 1, D = 3 & 0 0 & 1,
com P^-1AP = D. A matriz da transformação linear associada, na base de autovetores, é D.