Determine a mudança de coordenadas necessária para que a equação que representa essa seção cônica esteja na forma reduzida.
7 x^2-6 raiz3 x y+13 y^2-16=0

Passo 1

O enunciado dá a seção cônica
7x^2-6raiz3,x,y+13y^2-16=0
e pede a mudança de coordenadas (rotação de eixos) que elimina o termo misto xy. Vamos usar o fato de que, para
A x^2 + B x y + C y^2 + dots = 0,
a rotação de eixo por um ângulo theta satisfaz
tan(2theta)=BA-C

Passo 2

Identificamos
A=7, B=-6raiz3, C=13,
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tan(2theta)=-6raiz37-13=-6raiz3-6=raiz3
Daí
2theta=pi3Longrightarrow theta=pi6

Passo 3

A rotação de eixos é dada pela substituição
x = Xcostheta - Ysintheta, y = Xsintheta + Ycostheta
Substituindo theta=tfracpi6 (onde costfracpi6=tfracraiz32 e sintfracpi6=tfrac12), vem
x = raiz32,X ;-;12,Y, y = 12,X ;+;raiz32,Y

Passo 4

Ao inserir essa mudança na equação original, o termo misto some e os coeficientes das formas quadráticas em X e Y ficam
A' = 4, C' = 16

Passo 5

Assim a equação reduzida em (X,Y) é
4X^2 + 16Y^2 - 16 = 0 Long<=ftrightarrow X^24 + Y^21 = 1,
que é um elipse.

Resposta

A mudança de coordenadas é
boxedx = raiz32X - 12Y, y = 12X + raiz32Y,
e a forma reduzida resultante é
X^24 + Y^21 = 1

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