Seja
uma matriz
invertível. Mostre que os autovalores de
são os inversos dos autovalores de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é uma matriz invertível de ordem
, então cada autovalor de
é o inverso de um autovalor de
. Vamos usar a definição de autovalor e autovetor e as propriedades da inversa.
Passo 2
Suponha que
seja um autovalor de
com autovetor
. Então
Como
é invertível, temos
. Aplicando
em ambos os lados,
Logo
é autovalor de
, com o mesmo autovetor
.
Passo 3
Reciprocamente, seja
autovalor de
com autovetor
. Então
Multiplicando por
,
Portanto
é autovalor de
.
Resposta
Os autovalores de
são exatamente
, onde
percorre os autovalores de
.