Seja A uma matriz n times n invertível. Mostre que os autovalores de A^-1 são os inversos dos autovalores de A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se A é uma matriz invertível de ordem n, então cada autovalor de A^-1 é o inverso de um autovalor de A. Vamos usar a definição de autovalor e autovetor e as propriedades da inversa.

Passo 2

Suponha que lambda seja um autovalor de A com autovetor vneq0. Então
Av=lambdav
Como A é invertível, temos lambdaneq0. Aplicando A^-1 em ambos os lados,
A^-1Av=A^-1(lambdav) Longrightarrow v=lambda,A^-1v Longrightarrow A^-1v=lambda^-1v
Logo lambda^-1 é autovalor de A^-1, com o mesmo autovetor v.

Passo 3

Reciprocamente, seja mu autovalor de A^-1 com autovetor wneq0. Então
A^-1w=muw
Multiplicando por A,
A(A^-1w)=A(muw) Longrightarrow w=mu,Aw Longrightarrow Aw=mu^-1w
Portanto mu^-1 é autovalor de A.

Resposta

Os autovalores de A^-1 são exatamente lambda^-1, onde lambda percorre os autovalores de A.

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