Seja A uma matriz com autovalores complexos e . Mostre que A não é diagonalizável sobre , mas é diagonalizável sobre .
Passo 1
O enunciado diz que é uma matriz cujos autovalores são
O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes sobre um corpo F (que pode ser R ou C). Para diagonalizar A sobre F precisamos encontrar uma base de ,F^2 formada por autovetores de A.
Passo 2
Definição e critério de diagonalização:
Uma matriz A é diagonalizável sobre um corpo F se e somente se existem dois autovetores linearmente independentes em F^2. Equivalentemente, a soma das dimensões dos espaços próprios (geométricas) deve ser igual a 2.
Passo 3
Diagonalização sobre R:
Como os autovalores lambda=2+3,i e lambda=2-3,i não são reais, não existem autovetores não-nulos em R^2. Logo, não há nenhum vetor real vinR^2 tal que
A,v = lambda,v
ou
A,v = lambda,v,
pois isso exigiria lambdainR. Sem autovetores reais, não é possível formar uma base de R^2. Conclusão: A não é diagonalizável sobre R.
Passo 4
Diagonalização sobre C:
No corpo C os autovalores lambda e lambda são distintos. Para cada autovalor distinto há, sempre, pelo menos um autovetor não-nulo em C^2. Como temos dois autovalores de multiplicidade algébrica 1 cada, a dimensão de cada espaço próprio (geométrica) também é 1. Esses dois autovetores são linearmente independentes em C^2 e formam uma base. Portanto existe uma matriz invertível P complexa tal que
P^-1 A P = lambda & 0 [6pt] 0 & lambda
Isso mostra que A é diagonalizável sobre C.]
Resposta
A não é diagonalizável sobre R, mas é diagonalizável sobre C.