Determine a_{1}, a_{2} e x_{0} para que a aproximação:
\int_{-1}^{1} f(x) d x=a_{1} f\left(x_{0}\right)+a_{2} f\left(-x_{0}\right)
seja exata para as funções: -1,1-x \mathrm{e}|x|.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a_{1}, a_{2} e x_{0} tais que, para toda das três funções dadas, valha exatamente
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = a_{1}f(x_{0}) + a_{2}f(-x_{0}).
As três funções para as quais a fórmula deve ser exata são 1, x e |x|. Vou usar cada uma delas para obter uma equação que relaciona a_{1},a_{2},x_{0}. Essas três equações serão suficientes para determinar as três incógnitas.

Passo 2

Usando f(x)=1 (função constante). Calcule o lado esquerdo:
\int_{-1}^{1} 1\,dx = 2.
No lado direito temos a_{1}f(x_{0})+a_{2}f(-x_{0})=a_{1}\cdot 1 + a_{2}\cdot 1. Assim obtemos a primeira equação:
a_{1}+a_{2}=2.
Comentário didático: integrar a função constante 1 sobre [-1,1] dá simplesmente o comprimento do intervalo, que é 2. Isso gera uma condição sobre a soma dos pesos.

Passo 3

Usando f(x)=x (função ímpar). Calcule o lado esquerdo:
\int_{-1}^{1} x\,dx = 0,
porque a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico [-a,a] é zero. No lado direito:
a_{1}f(x_{0})+a_{2}f(-x_{0})=a_{1}x_{0}+a_{2}(-x_{0})=x_{0}(a_{1}-a_{2}).
Igualando aos dois lados obtemos a segunda equação:
x_{0}(a_{1}-a_{2})=0.
Didática: a propriedade par/ímpar é muito útil em quadratura em intervalos simétricos. Como normalmente se escolhem nós distintos ( x_{0}\neq 0), a condição acima força a_{1}=a_{2}. Vou assumir x_{0}\neq 0 para obter uma solução com nós distintos; se x_{0}=0 também seria possível, mas isso colapsaria os dois nós num só.

Passo 4

Da equação anterior, assumindo x_{0}\neq 0, temos
a_{1}=a_{2}.
Juntando com a_{1}+a_{2}=2
a_{1}=a_{2}=1.
Explicação prática: pela simetria do problema (nós simétricos \pm x_{0}) é natural que os pesos fiquem iguais quando a regra integra corretamente a função x.

Passo 5

Usando f(x)=|x| (função par). Calcule o lado esquerdo:
\int_{-1}^{1} |x|\,dx = 2\int_{0}^{1} x\,dx = 2\cdot\frac{1}{2}=1.
No lado direito, com a_{1}=a_{2}=1,
a_{1}|x_{0}|+a_{2}|{-x_{0}}| = 1\cdot |x_{0}| + 1\cdot |x_{0}| = 2|x_{0}|.
Igualando os dois lados:
2|x_{0}| = 1 \quad\Rightarrow\quad |x_{0}| = \tfrac{1}{2}.
Como x_{0} é a posição de um nó e geralmente escolhemos x_{0}\ge 0, tomamos
x_{0}=\tfrac{1}{2}.
Didática: usar que |x| é par permite reduzir a integral ao intervalo [0,1]. Depois usamos a igualdade dos pesos para simplificar a soma das avaliações.

Passo 6

Resumo e verificação rápida: com a_{1}=a_{2}=1 e x_{0}=\tfrac{1}{2},
  • Para f(x)=1: RHS =1\cdot1+1\cdot1=2 que bate com LHS =2.
  • Para f(x)=x: RHS =1\cdot\tfrac{1}{2}+1\cdot(-\tfrac{1}{2})=0 que bate com LHS =0.
  • Para f(x)=|x|: RHS =1\cdot\tfrac{1}{2}+1\cdot\tfrac{1}{2}=1 que bate com LHS =1.
    Portanto a regra encontrada é consistente e exata para as três funções pedidas.

Resposta

a_{1}=1
a_{2}=1
x_{0}=\tfrac{1}{2}

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