Determine
e
para que a aproximação:
seja exata para as funções:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar
,
e
tais que, para toda das três funções dadas, valha exatamente
As três funções para as quais a fórmula deve ser exata são
,
e
. Vou usar cada uma delas para obter uma equação que relaciona
. Essas três equações serão suficientes para determinar as três incógnitas.
Passo 2
Usando
(função constante). Calcule o lado esquerdo:
No lado direito temos
. Assim obtemos a primeira equação:
Comentário didático: integrar a função constante 1 sobre
dá simplesmente o comprimento do intervalo, que é
. Isso gera uma condição sobre a soma dos pesos.
Passo 3
Usando
(função ímpar). Calcule o lado esquerdo:
porque a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico
é zero. No lado direito:
Igualando aos dois lados obtemos a segunda equação:
Didática: a propriedade par/ímpar é muito útil em quadratura em intervalos simétricos. Como normalmente se escolhem nós distintos (
), a condição acima força
. Vou assumir
para obter uma solução com nós distintos; se
também seria possível, mas isso colapsaria os dois nós num só.
Passo 4
Da equação anterior, assumindo
, temos
Juntando com
dá
Explicação prática: pela simetria do problema (nós simétricos
) é natural que os pesos fiquem iguais quando a regra integra corretamente a função
.
Passo 5
Usando
(função par). Calcule o lado esquerdo:
No lado direito, com
,
Igualando os dois lados:
Como
é a posição de um nó e geralmente escolhemos
, tomamos
Didática: usar que
é par permite reduzir a integral ao intervalo
. Depois usamos a igualdade dos pesos para simplificar a soma das avaliações.
Passo 6
Resumo e verificação rápida: com
e
,
- Para
: RHS que bate com LHS . - Para
: RHS que bate com LHS . - Para
: RHS que bate com LHS .
Portanto a regra encontrada é consistente e exata para as três funções pedidas.