Para quais valores de
o método de Euler produz a solução exata quando aplicado ao seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pergunta: para quais valores de
o método de Euler (explícito) produz a solução exata nos pontos da malha (isto é,
igual a
para todo
)?
Informações relevantes que temos:
- A equação diferencial explícita e a condição inicial (peguei estes do enunciado).
- O método de Euler explícito usa a atualização
onde
,
e
.
- Queremos os
tais que, para qualquer passo e para todos os nós da malha, a sequência obtida por Euler coincida com a solução exata avaliada em .
Passo 2
Vou primeiro achar a solução exata do PVI para entender o que o método deveria reproduzir.
A EDO é separável. Faço separação de variáveis:
Integro ambos os lados:
Exponenciando:
Com a condição inicial
segue
, e como
(começando em
) podemos dropar o valor absoluto. Logo a solução exata é
Passo 3
Agora escrevo o método de Euler explícito aplicado a esta EDO. Como
, a iteração é
Queremos que, se
for a solução exata no nó
, isto é
, então após a atualização tenhamos
. Essa condição garante que Euler reproduz exatamente a solução nos nós.
Passo 4
Substituo
na fórmula de Euler e imponho igualdade com a solução exata em
:
Dividindo ambos os lados por
(que é positivo) obtenho a condição
Defino
(note que, variando
e para dado
,
assume vários valores positivos). A condição fica
Passo 5
Agora analiso essa identidade em
. A igualdade
deve valer para todos os
que aparecem na malha; como
varia com
,
pode ser arbitrariamente pequeno e assumir vários valores positivos. Para que uma função da forma
coincida com a função linear
em um conjunto de
que tem acumulação (por exemplo,
próximos de
), os termos de ordem superior no desenvolvimento em série devem desaparecer.
Faço o desenvolvimento de Taylor (ou binomial generalizado) em torno de
:
Para que isso seja igual a
para pequenos
(ou para um conjunto de
com ponto de acumulação), necessariamente o coeficiente de
deve ser zero:
Assim
, logo as únicas possibilidades são
(Argumento alternativo rápido: se a igualdade valesse para todos
num intervalo, derivando ambos os lados em
mais de uma vez e avaliando em
também leva a
.)
Passo 6
Verifico explicitamente que esses valores funcionam.
- Para
: a solução exata é . Euler dá
com
isso produz
para todo
, que coincide com a solução exata.
- Para
: a solução exata é . Euler dá, se ,
portanto Euler produz exatamente
para todos os
.
Para qualquer outro
não nulo e diferente de
, o termo de ordem
ou superiores não se anulam e, em geral,
, então Euler não dará a solução exata para todos os nós.
Passo 7
Conclusão: os únicos valores de
para os quais o método de Euler reproduz a solução exata (em todos os nós da malha, para qualquer passo
) são
e
.