Considere o seguinte modelo de regressão linear simples: y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1} x_{i}+u_{i}, i=1,2, \ldots n.
Uma amostra aleatória com \mathrm{n}=24 observações de cada variável fornece as seguintes estatísticas:
\begin{array}{lll} \sum_{\mathrm{i}=1}^{24} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}=12 & \sum_{\mathrm{i}=1}^{24} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}^{2}=19 & \\\ \sum_{\mathrm{i}=1}^{24} \mathrm{y}_{\mathrm{i}}=48 & \sum_{\mathrm{i}=1}^{24} \mathrm{y}_{\mathrm{i}}^{2}=200 & \sum_{\mathrm{i}=1}^{24} \mathrm{x}_{\mathrm{i}} \mathrm{y}_{\mathrm{i}}=50 \end{array}
A reta de regressão estimada por MQO (Mínimos Quadrados Ordinários) a partir dessa amostra é:
A. \hat{y}_{i}=0,5+2 x_{i};
B. \hat{y}_{i}=0,5+3 x_{i};
C. \hat{y}_{i}=1+2 x_{i};
D. \hat{y}_{i}=1,5+0,5 x_{i};
E. \hat{y}_{i}=2+0,5 x_{i}.

Passo 1

O enunciado pede que encontremos a reta de regressão estimada por MQO a partir da amostra. As informações fornecidas são:
n=24
\sum_{i=1}^{24} x_i = 12,\qquad \sum_{i=1}^{24} x_i^2 = 19
\sum_{i=1}^{24} y_i = 48,\qquad \sum_{i=1}^{24} y_i^2 = 200,\qquad \sum_{i=1}^{24} x_i y_i = 50
As alternativas possíveis são:
A. \hat{y}_{i}=0,5+2 x_{i}
B. \hat{y}_{i}=0,5+3 x_{i}
C. \hat{y}_{i}=1+2 x_{i}
D. \hat{y}_{i}=1,5+0,5 x_{i}
E. \hat{y}_{i}=2+0,5 x_{i}

Passo 2

Primeiro calculemos as médias amostrais de x e y. A média amostral é a soma dividida pelo número de observações. Definimos:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,\qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i.
Substituindo os valores:
\bar{x}=\frac{12}{24}=0,5
\bar{y}=\frac{48}{24}=2.
Explicação: \bar{x} é o valor médio de x na amostra e \bar{y} é o valor médio de y. Esses valores são usados para centralizar as somas de covariância e variância.

Passo 3

A fórmula padrão do estimador MQO (mínimos quadrados) para regressão linear simples é:
\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad \hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x},
onde
S_{xy}=\sum_{i=1}^n x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}
e
S_{xx}=\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2.
Explicação didática: S_{xy} mede a covariância (não normalizada) entre x e y na amostra; S_{xx} mede a variabilidade de x. A inclinação \hat{\beta}_1 é a razão entre como x e y variam juntos e como x varia sozinho. A interceptação \hat{\beta}_0 ajusta a reta para passar pelo ponto médio (\bar{x},\bar{y}).

Passo 4

Calculemos S_{xy} usando os dados:
S_{xy}=\sum_{i=1}^{24} x_i y_i - n\bar{x}\bar{y} = 50 - 24\cdot(0,5)\cdot 2.
Compute 24\cdot(0,5)\cdot 2:
24\cdot 0,5 = 12,\qquad 12\cdot 2 = 24.
Portanto
S_{xy}=50-24=26.

Passo 5

Calculemos S_{xx}:
S_{xx}=\sum_{i=1}^{24} x_i^2 - n\bar{x}^2 = 19 - 24\cdot(0,5)^2.
Compute (0,5)^2 = 0,25 e 24\cdot 0,25 = 6. Então
S_{xx}=19-6=13.

Passo 6

Agora a inclinação:
\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{26}{13}=2.
Explicação: dividimos a covariância não-normalizada pela variância não-normalizada de x. Aqui deu um número inteiro, o que facilita.

Passo 7

Calculemos a interceptação:
\hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}=2-2\cdot 0,5=2-1=1.
Assim a reta ajustada é
\hat{y}_i = 1 + 2 x_i.
Comparando com as alternativas, isso corresponde à alternativa C.

Resposta

C. \hat{y}_{i}=1+2 x_{i}

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