Considere a seguinte operação * definida sobre o conjunto dos números racionais: x * y=x+y2. Verifique se * é comutativa, se é associativa, se tem elemento neutro e se existem elementos invertíveis.

Passo 1

O enunciado define uma operação * sobre Q dada por
x*y = x+y2
Precisamos verificar os seguintes pontos:
  1. se é comutativa;
  2. se é associativa;
  3. se existe elemento neutro;
  4. se existem elementos invertíveis.

Passo 2

Para mostrar que é comutativa, basta ver que para quaisquer x,yinQ
x*y = x+y2 e y*x = y+x2
Como a soma em Q é comutativa ( x+y=y+x), segue que x*y=y*x. Portanto, * é comutativa.

Passo 3

Para testar associatividade, comparamos (x*y)*z e x*(y*z). Primeiro,
(x*y)*z = x+y2 + z2 = x+y+2z4
Em seguida,
x*(y*z) = x + y+z22 = 2x+y+z4
Como x+y+2z4neq 2x+y+z4 em geral, concluímos que a operação não é associativa.

Passo 4

Suponha que exista elemento neutro einQ tal que, para todo x,
x*e = x
Isso significa
x + e2 = x
Multiplicando ambos os lados por 2 x+e = 2x, ou seja e = x. Como isso dependeria de x, não há um único e satisfazendo para todo x. Logo, não existe elemento neutro.

Passo 5

Elementos invertíveis são definidos em relação a um neutro. Como não existe neutro em (Q,*), também não existem inversos de forma consistente para qualquer elemento.

Resposta

A operação * definida por x*y=(x+y)/2 é:
– comutativa;
– não associativa;
– não possui elemento neutro;
– portanto, não possui elementos invertíveis.

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