Considere a seguinte operação * definida sobre o conjunto dos números racionais:
. Verifique se * é comutativa, se é associativa, se tem elemento neutro e se existem elementos invertíveis.
Passo 1
O enunciado define uma operação
sobre
dada por
Precisamos verificar os seguintes pontos:
- se é comutativa;
- se é associativa;
- se existe elemento neutro;
- se existem elementos invertíveis.
Passo 2
Para mostrar que é comutativa, basta ver que para quaisquer
Como a soma em
é comutativa (
), segue que
. Portanto,
é comutativa.
Passo 3
Para testar associatividade, comparamos
e
. Primeiro,
Em seguida,
Como
em geral, concluímos que a operação não é associativa.
Passo 4
Suponha que exista elemento neutro
tal que, para todo
,
Isso significa
Multiplicando ambos os lados por
dá
, ou seja
. Como isso dependeria de
, não há um único
satisfazendo para todo
. Logo, não existe elemento neutro.
Passo 5
Elementos invertíveis são definidos em relação a um neutro. Como não existe neutro em
, também não existem inversos de forma consistente para qualquer elemento.
Resposta
A operação
definida por
é:
– comutativa;
– não associativa;
– não possui elemento neutro;
– portanto, não possui elementos invertíveis.
– comutativa;
– não associativa;
– não possui elemento neutro;
– portanto, não possui elementos invertíveis.