Mostre que a operação de multiplicação de matrizes em G L2(R) não é comutativa. Para isso, você deverá encontrar duas matrizes A, B in G L2(R) tais que A B neq B A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que em GL2(R) a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, existem matrizes A,Bin GL2(R) tais que ABneq BA. Vamos lembrar que GL2(R) é o grupo das matrizes 2times2 invertíveis com entradas em R, e que em geral a multiplicação de matrizes não satisfaz AB=BA.

Passo 2

Escolhemos como exemplo as matrizes
A = 1 & 1 0 & 1, B = 1 & 0 1 & 1
Vamos primeiro verificar que ambas são invertíveis, ou seja, têm determinante diferente de zero:
det(A) = 1cdot1 - 0cdot1 = 1, det(B) = 1cdot1 - 1cdot0 = 1
Como det(A)=det(B)=1neq0, temos A,Bin GL2(R).

Passo 3

Agora calculamos o produto AB:
AB = 1 & 1 0 & 1 1 & 0 1 & 1 = 1cdot1 + 1cdot1 & 1cdot0 + 1cdot1 0cdot1 + 1cdot1 & 0cdot0 + 1cdot1 = 2 & 1 1 & 1

Passo 4

Em seguida calculamos o produto na ordem inversa, BA:
BA = 1 & 0 1 & 1 1 & 1 0 & 1 = 1cdot1 + 0cdot0 & 1cdot1 + 0cdot1 1cdot1 + 1cdot0 & 1cdot1 + 1cdot1 = 1 & 1 1 & 2

Passo 5

Comparando os resultados, vemos que
AB = 2 & 1 1 & 1 e BA = 1 & 1 1 & 2,
logo AB neq BA. Isso confirma que a multiplicação em GL2(R) não é comutativa.

Resposta

Como exemplo, basta tomar
A = 1 & 1 0 & 1, B = 1 & 0 1 & 1,
pois AB neq BA.

Exercícios relacionados