Prove que se
é um grupo abeliano, então
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, num grupo abeliano
, vale
ou seja, o inverso do produto é o produto dos inversos na mesma ordem. Para isso vamos usar a definição de inverso em grupo e a comutatividade.
Passo 2
Mostramos que
é, de fato, um inverso de
. Como
é abeliano podemos reorganizar os fatores à vontade. Então
para verificar que , note que
para verificar que
onde usamos a comutatividade para trocar
e
. De modo semelhante
Passo 3
Pela unicidade do inverso em qualquer grupo, o elemento que multiplica com
em ambas as ordens dando
só pode ser
. Como já vimos que esse elemento é
, concluímos