Prove que se G é um grupo abeliano, então (a b)^-1=a^-1 cdot b^-1.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, num grupo abeliano (G,cdot), vale
(acdot b)^-1 ;=; a^-1cdot b^-1,
ou seja, o inverso do produto é o produto dos inversos na mesma ordem. Para isso vamos usar a definição de inverso em grupo e a comutatividade.

Passo 2

Mostramos que a^-1cdot b^-1 é, de fato, um inverso de acdot b. Como G é abeliano podemos reorganizar os fatores à vontade. Então
para verificar que (acdot b)cdot(a^-1cdot b^-1)=e, note que
(acdot b)cdot(a^-1cdot b^-1) = acdot bcdot a^-1cdot b^-1 = acdot a^-1cdot bcdot b^-1 = ecdot e = e,
onde usamos a comutatividade para trocar b e a^-1. De modo semelhante
(a^-1cdot b^-1)cdot(acdot b) = a^-1cdot b^-1cdot acdot b = a^-1cdot acdot b^-1cdot b = ecdot e = e

Passo 3

Pela unicidade do inverso em qualquer grupo, o elemento que multiplica com acdot b em ambas as ordens dando e só pode ser (acdot b)^-1. Como já vimos que esse elemento é a^-1cdot b^-1, concluímos
(acdot b)^-1 ;=; a^-1cdot b^-1

Resposta

(acdot b)^-1 = a^-1cdot b^-1

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