Prove a segunda parte da lei do cancelamento, ou seja, prove que se b cdot a=c cdot a, então b=c.

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre, em um grupo (G,cdot), que a operação satisfaz a lei de cancelamento à direita: se
bcdot a = ccdot a,
então necessariamente
b = c
Para isso vamos usar os axiomas de grupo: associatividade, existência de elemento neutro e e existência de inverso a^-1 para cada ain G.

Passo 2

Partimos da hipótese
bcdot a = ccdot a
Como todo elemento a em G tem inverso a^-1, podemos multiplicar ambos os lados à direita por a^-1, obtendo
(bcdot a)cdot a^-1 ;=; (ccdot a)cdot a^-1

Passo 3

Pela associatividade da operação, reagrupamos cada lado:
bcdotl(acdot a^-1r) ;=; ccdotl(acdot a^-1r)

Passo 4

Pelo axioma do inverso, temos
acdot a^-1 = e,
onde e é o elemento neutro de G. Substituindo em cada lado da igualdade do passo anterior, fica
bcdot e = ccdot e

Passo 5

Pelo axioma do neutro, multiplicar qualquer elemento por e deixa-o inalterado, ou seja,
b cdot e = b e c cdot e = c
Logo da igualdade b cdot e = c cdot e segue
b = c,
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

Assim, mostramos que em todo grupo, se bcdot a = ccdot a então b = c, provando a lei do cancelamento à direita.

Exercícios relacionados