Prove a segunda parte da lei do cancelamento, ou seja, prove que se
, então
.
Passo 1
O enunciado quer que a gente mostre, em um grupo
, que a operação satisfaz a lei de cancelamento à direita: se
então necessariamente
Para isso vamos usar os axiomas de grupo: associatividade, existência de elemento neutro
e existência de inverso
para cada
.
Passo 2
Partimos da hipótese
Como todo elemento
em
tem inverso
, podemos multiplicar ambos os lados à direita por
, obtendo
Passo 3
Pela associatividade da operação, reagrupamos cada lado:
Passo 4
Pelo axioma do inverso, temos
onde
é o elemento neutro de
. Substituindo em cada lado da igualdade do passo anterior, fica
Passo 5
Pelo axioma do neutro, multiplicar qualquer elemento por
deixa-o inalterado, ou seja,
Logo da igualdade
segue
que é exatamente o que queríamos demonstrar.
Resposta
Assim, mostramos que em todo grupo, se
então
, provando a lei do cancelamento à direita.