Considere a seguinte operação em
. Determine se
é um grupo.
Passo 1
O enunciado define em
a operação
O conteúdo aqui é a verificação dos axiomas de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e existência de inversos).
Passo 2
Verificamos fechamento e associatividade.
- Fechamento: Se
, então e são inteiros, logo . - Associatividade: A multiplicação em
é associativa, isto é,
e
logo
.
Passo 3
Procuramos um elemento neutro
tal que para todo
Isso exige
e
para todo
, o que ocorre se, e só se,
e
.
Assim, o neutro é .
Assim, o neutro é
Passo 4
Para existir inverso de
precisamos de
tal que
Isto dá
e
. Como estamos em
, as únicas soluções inteiras são
e
. Logo só os pares
com
têm inverso em
.
Passo 5
Concluímos que, embora haja fechamento, associatividade e neutro, nem todo elemento de
tem inverso. Portanto,
não é um grupo (é apenas um monóide).