Considere a seguinte operação em Z times Z:(a, b) *(c, d)=(a c, b d). Determine se (Z, *) é um grupo.

Passo 1

O enunciado define em ZtimesZ a operação
(a,b)*(c,d) = (a,c,;b,d)
O conteúdo aqui é a verificação dos axiomas de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e existência de inversos).

Passo 2

Verificamos fechamento e associatividade.
  1. Fechamento: Se (a,b),(c,d)inZtimesZ, então a,c e b,d são inteiros, logo (a,c,b,d)inZtimesZ.
  2. Associatividade: A multiplicação em Z é associativa, isto é,
((a,b)*(c,d))*(e,f) = (a,c,b,d)*(e,f) = (a,c,e,;b,d,f)
e
(a,b)*((c,d)*(e,f)) = (a,b)*(c,e,d,f) = (a,c,e,;b,d,f),
logo (a,b)*((c,d)*(e,f)) = ((a,b)*(c,d))*(e,f).

Passo 3

Procuramos um elemento neutro e=(e1,e2) tal que para todo (a,b)
(e1,e2)*(a,b) = (a,b) e (a,b)*(e1,e2)=(a,b)
Isso exige e1,a = a e e2,b = b para todo a,b, o que ocorre se, e só se, e1 = 1 e e2 = 1.
Assim, o neutro é (1,1).

Passo 4

Para existir inverso de (a,b) precisamos de (x,y) tal que
(a,b)*(x,y) = (1,1)
Isto dá a,x=1 e b,y=1. Como estamos em Z, as únicas soluções inteiras são a,xinpm1 e b,yinpm1. Logo só os pares (a,b) com a,binpm1 têm inverso em ZtimesZ.

Passo 5

Concluímos que, embora haja fechamento, associatividade e neutro, nem todo elemento de ZtimesZ tem inverso. Portanto, l(ZtimesZ,*r) não é um grupo (é apenas um monóide).

Resposta

l(ZtimesZ,*r) não é um grupo, pois a maioria dos elementos não possui inverso em ZtimesZ.

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