Seja
um grupo e considere
. Prove que:
.
Passo 1
O enunciado diz que em um grupo
temos três elementos
e que
O que precisamos provar é que a multiplicação à direita por um mesmo elemento é injetora, ou seja, o fato de
coincidir com
implica
. Para isso usaremos duas propriedades fundamentais de grupos: a existência de inverso de cada elemento e a associatividade.
Passo 2
Como
é um grupo, existe o inverso de
, que chamaremos de
, tal que
onde
é o elemento neutro de
. Também temos associatividade da multiplicação em
.
Passo 3
Partimos da igualdade dada
. Para “cancelar”
à direita, multiplicamos ambos os lados da igualdade por
à direita:
Pela associatividade, podemos agrupar como
Passo 4
Usando
, obtemos
Como
é o neutro,
e
. Logo
Resposta
Portanto, provamos que em todo grupo a multiplicação à direita por um elemento é cancelativa, isto é,