Seja G um grupo e considere g, h, k in G. Prove que:
h g=k g Rightarrow h=k.

Passo 1

O enunciado diz que em um grupo G temos três elementos g,h,kin G e que
h,g = k,g
O que precisamos provar é que a multiplicação à direita por um mesmo elemento é injetora, ou seja, o fato de h,g coincidir com k,g implica h=k. Para isso usaremos duas propriedades fundamentais de grupos: a existência de inverso de cada elemento e a associatividade.

Passo 2

Como G é um grupo, existe o inverso de g, que chamaremos de g^-1, tal que
g,g^-1 = e e g^-1g = e,
onde e é o elemento neutro de G. Também temos associatividade da multiplicação em G.

Passo 3

Partimos da igualdade dada h,g = k,g. Para “cancelar” g à direita, multiplicamos ambos os lados da igualdade por g^-1 à direita:
(h,g),g^-1 = (k,g),g^-1
Pela associatividade, podemos agrupar como
h,(g,g^-1) = k,(g,g^-1)

Passo 4

Usando g,g^-1=e, obtemos
h,e = k,e
Como e é o neutro, h,e = h e k,e = k. Logo
h = k

Resposta

Portanto, provamos que em todo grupo a multiplicação à direita por um elemento é cancelativa, isto é,
h,g = k,g ;Longrightarrow; h = k

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