Quais dos seguintes subconjuntos de Z13=0, 1, ldots, 12 são grupos com relação a multiplicação?
A=Z13.

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se
A = Z13 = 0,1,dots,12
é um grupo quando a operação é a multiplicação em Z13.
Para isso, vamos usar os quatro axiomas de grupo:
  1. Fechamento
  2. Associatividade
  3. Elemento neutro
  4. Existência de inversos

Passo 2

Associatividade e fechamento já vêm “de fábrica” porque a multiplicação em Z13 herda essas propriedades da multiplicação em Z. Em particular, para quaisquer a,bin A temos
acdotb = a bin A
e
(acdotb)cdotc = acdot(bcdotc)

Passo 3

O elemento neutro é 1, pois
forall,ain A: 1cdota=acdot1=a

Passo 4

Falta a existência de inversos. Em Z13 todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo, mas 0 não: não existe x tal que
0cdotx = 1
Logo, 0 não possui inverso em A, e o axioma dos inversos falha.

Resposta

A não é grupo sob multiplicação em Z13.

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