Quais dos seguintes subconjuntos de são grupos com relação a multiplicação? A=Z13.
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se A = Z13 = 0,1,dots,12
é um grupo quando a operação é a multiplicação em Z13.
Para isso, vamos usar os quatro axiomas de grupo:
Fechamento
Associatividade
Elemento neutro
Existência de inversos
Passo 2
Associatividade e fechamento já vêm “de fábrica” porque a multiplicação em Z13 herda essas propriedades da multiplicação em Z. Em particular, para quaisquer a,bin A temos
acdotb = a bin A
e
(acdotb)cdotc = acdot(bcdotc)
Passo 3
O elemento neutro é 1, pois
forall,ain A: 1cdota=acdot1=a
Passo 4
Falta a existência de inversos. Em Z13 todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo, mas 0 não: não existe x tal que
0cdotx = 1
Logo, 0 não possui inverso em A, e o axioma dos inversos falha.