Determine se a seguinte integral imprópria converge ou diverge:
Seja f(x)=\frac{1}{x^{2}} contínua em (0,1]
\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}} d x=\lim _{c \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}} d x=\lim _{c \rightarrow 0^{+}}\left[-\frac{1}{x}\right]_{c}^{1}=-\lim _{c \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{c}\right)=-(-\infty)=\infty

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a integral imprópria
\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}}\,dx
converge ou diverge.
Informações dadas e observações importantes:
  • A função f(x)=\frac{1}{x^{2}} é contínua em (0,1] (isto está no enunciado).
  • Há um problema em x=0: f(x) não está definida em 0 e tende para +\infty quando x\to 0^{+}. Por isso a integral é imprópria — devemos cuidar do limite ao nos aproximarmos de 0.
  • A pergunta é apenas sobre convergência/divergência da integral no intervalo [0,1].

Passo 2

Definição prática de integral imprópria que vamos usar: quando a função tem uma singularidade em 0 (como aqui), definimos
\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}}\,dx \stackrel{\text{def}}{=} \lim_{c\to 0^{+}} \int_{c}^{1}\frac{1}{x^{2}}\,dx.
Ou seja, integramos entre c e 1 (com c>0) e depois vemos o que acontece quando c vai para 0^{+}. Se esse limite for finito, a integral converge; se for +\infty ou não existir, diverge.

Passo 3

Calculemos a integral definida para um c>0 fixo:
precisamos da primitiva de x^{-2}. Usamos a regra geral:
para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=-2, então
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C.
Portanto, para c>0,
\int_{c}^{1}\frac{1}{x^{2}}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{c}^{1}.

Passo 4

Avalie a diferença das primitivsa nos limites:
\left[-\frac{1}{x}\right]_{c}^{1} = -\frac{1}{1} -\left(-\frac{1}{c}\right) = -1 + \frac{1}{c}.
Note que aqui não houve erro de sinais: a primitiva em 1 é -1 e em c é -1/c, então subtraindo obtemos -1 - (-1/c)= -1 + 1/c.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando c\to 0^{+}:
\lim_{c\to 0^{+}}\left(-1 + \frac{1}{c}\right).
Quando c\to 0^{+} temos \frac{1}{c}\to +\infty, logo a expressão vai para +\infty. Portanto o limite não é um número finito; a integral imprópria diverge para +\infty.

Passo 6

Interpretação e regra geral (útil para a prova): para integrais do tipo
\int_{0}^{1} x^{-p}\,dx,
existe uma regra padrão (às vezes chamada de “teste-p”): essa integral converge se, e somente se, p<1. Aqui p=2, que é maior que 1, então a integral diverge — isso confirma o cálculo direto que fizemos.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • Se p=\tfrac{1}{2}, então \int_{0}^{1} x^{-1/2}\,dx = \left[2x^{1/2}\right]_{0}^{1}=2 (converge).
  • Se p=1, \int_{0}^{1}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{c\to0^{+}}(\ln 1 - \ln c)=+\infty (diverge).
    Esses exemplos mostram por que o valor crítico é p=1.

Resposta

Diverge; \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}}\,dx=+\infty

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