Determine se a seguinte integral imprópria converge ou diverge:
Seja
contínua em
Seja
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a integral imprópria
converge ou diverge.
Informações dadas e observações importantes:
- A função
é contínua em (isto está no enunciado). - Há um problema em
: não está definida em e tende para quando . Por isso a integral é imprópria — devemos cuidar do limite ao nos aproximarmos de . - A pergunta é apenas sobre convergência/divergência da integral no intervalo
.
Passo 2
Definição prática de integral imprópria que vamos usar: quando a função tem uma singularidade em
(como aqui), definimos
Ou seja, integramos entre
e
(com
) e depois vemos o que acontece quando
vai para
. Se esse limite for finito, a integral converge; se for
ou não existir, diverge.
Passo 3
Calculemos a integral definida para um
fixo:
precisamos da primitiva de . Usamos a regra geral:
para ,
precisamos da primitiva de
para
Aqui
, então
Portanto, para
,
Passo 4
Avalie a diferença das primitivsa nos limites:
Note que aqui não houve erro de sinais: a primitiva em
é
e em
é
, então subtraindo obtemos
.
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
:
Quando
temos
, logo a expressão vai para
. Portanto o limite não é um número finito; a integral imprópria diverge para
.
Passo 6
Interpretação e regra geral (útil para a prova): para integrais do tipo
existe uma regra padrão (às vezes chamada de “teste-p”): essa integral converge se, e somente se,
. Aqui
, que é maior que
, então a integral diverge — isso confirma o cálculo direto que fizemos.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
- Se
, então (converge). - Se
, (diverge).
Esses exemplos mostram por que o valor crítico é.
Resposta
Diverge;