Considere o seguinte PPL.
\begin{aligned} \min & x_{1}-x_{2} \\\ & -x_{1}+x_{2} \leq 2 \\\ & x_{1}+x_{2} \geq 2 \\\ & x_{2} \geq 2 \\\ & x_{1}, x_{2} \geq 0 \end{aligned}
(1) Defina o conjunto viável desse PPL.
(2) Em qual caso quanto ao tipo de solução o PPL se enquadra? Justifique.

Passo 1

O enunciado define o problema de programação linear
\begin{aligned} \min\;&x_{1}-x_{2}\\\ \text{sujeito a }&-x_{1}+x_{2}\le2,\\\ &x_{1}+x_{2}\ge2,\\\ &x_{2}\ge2,\\\ &x_{1},x_{2}\ge0. \end{aligned}
O conteúdo envolvido é análise de região viável no plano e classificação do tipo de solução (única, múltipla ou inviável).

Passo 2

Vamos recolher as restrições que definem o conjunto viável. Temos
x_{2}\ge2,\quad x_{1}\ge0,\quad x_{2}\ge0
e ainda
x_{1}+x_{2}\ge2,\quad -x_{1}+x_{2}\le2.
Como x_{2}\ge2 já garante x_{1}+x_{2}\ge2 para todo x_{1}\ge0, a segunda restrição é redundante.

Passo 3

Restam então
x_{2}\ge2,\quad x_{1}\ge0,\quad -x_{1}+x_{2}\le2.
Da última obtemos
x_{1}\ge x_{2}-2.
Juntando tudo,
\mathcal{F}=\{(x_{1},x_{2})\mid x_{2}\ge2,\;x_{1}\ge\max\{0,x_{2}-2\}\}.

Passo 4

Agora, na fronteira que minimiza x_{1}-x_{2} queremos x_{1} o menor possível e x_{2} o maior possível. Para cada x_{2}\ge2, o menor x_{1} viável é x_{1}=x_{2}-2. Substituindo na função objetivo,
f(x_{1},x_{2})=(x_{2}-2)-x_{2}=-2.
Logo em toda a curva x_{1}=x_{2}-2,\;x_{2}\ge2 obtemos o mesmo valor mínimo -2.

Passo 5

Concluímos que o valor ótimo é -2 e ocorre em infinitos pontos da forma
(x_{1},x_{2})=\bigl(x_{2}-2,\;x_{2}\bigr),\quad x_{2}\ge2.

Passo 6

Como há uma curva inteira de pontos que atinge o mesmo valor ótimo, o PPL é possível e tem infinitas soluções ótimas.

Resposta

(1) \mathcal{F}=\{(x_{1},x_{2})\mid x_{2}\ge2,\;x_{1}\ge x_{2}-2\}.
(2) Possui infinitas soluções ótimas, pois ao longo da reta x_{1}=x_{2}-2,\;x_{2}\ge2 o valor objetivo é sempre -2.

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