Seja
(1) Defina um ponto extremo para o conjunto
.
(2) Encontre todos os pontos extremos do conjunto
.
(3) Represente
como uma combinação convexa dos pontos extremos de
.
(2) Encontre todos os pontos extremos do conjunto
(3) Represente
Passo 1
O enunciado define o conjunto
Nós estamos em geometria convexa:
é um politopo em
. Para resolver, vamos usar (i) a definição de ponto extremo em um conjunto convexo e (ii) identificar as interseções das restrições ativas para achar os vértices, que são os extremos. Depois, expressamos o ponto
como combinação convexa desses extremos.
Passo 2
Definição de ponto extremo. Seja
convexo. Dizemos que
é um ponto extremo de
se não existem
distintos e
tais que
Ou seja, não dá para “quebrar”
em combinação convexa não trivial de outros pontos de
.
Passo 3
Para encontrar todos os pontos extremos de
, observamos as restrições que podem ficar ativas simultaneamente:
-
e -
e -
e -
e
Calculando as interseções:
- Caso 1:
. - Caso 2:
e . - Caso 3:
e . - Caso 4:
.
Verifica-se que todos esses pontos satisfazem as outras desigualdades e que não há mais vértices. Logo os extremos são exatamente
Passo 4
Para escrever
como combinação convexa, escolhemos três vértices que formam um triângulo contendo
, por exemplo
,
e
. Procuramos
com
tais que
Das componentes:
Portanto
todas as
são não negativas e somam 1.
Resposta
(1) Um ponto extremo de
é aquele que não pode ser escrito como combinação convexa não trivial de outros pontos de
.
(2) Os pontos extremos são
(2) Os pontos extremos são
(3) Uma combinação convexa que representa
é