Seja
X=\left\{x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}: x_{1}-x_{2} \leq 3, x_{2} \leq 2\right\}
(1) Defina um ponto extremo para o conjunto X.
(2) Encontre todos os pontos extremos do conjunto X.
(3) Represente x=(1,1) como uma combinação convexa dos pontos extremos de X.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
X = \bigl\{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}_{+}^{2}\mid x_{1}-x_{2}\le3,\;x_{2}\le2\bigr\}.
Nós estamos em geometria convexa: X é um politopo em \mathbb{R}^2. Para resolver, vamos usar (i) a definição de ponto extremo em um conjunto convexo e (ii) identificar as interseções das restrições ativas para achar os vértices, que são os extremos. Depois, expressamos o ponto (1,1) como combinação convexa desses extremos.

Passo 2

Definição de ponto extremo. Seja C\subset\mathbb{R}^n convexo. Dizemos que x^*\in C é um ponto extremo de C se não existem y,z\in C distintos e \lambda\in(0,1) tais que
x^* \;=\;\lambda\,y + (1-\lambda)\,z.
Ou seja, não dá para “quebrar” x^* em combinação convexa não trivial de outros pontos de C.

Passo 3

Para encontrar todos os pontos extremos de X, observamos as restrições que podem ficar ativas simultaneamente:
  1. x_{1}=0 e x_{2}=0
  2. x_{2}=0 e x_{1}-x_{2}=3
  3. x_{2}=2 e x_{1}-x_{2}=3
  4. x_{1}=0 e x_{2}=2
Calculando as interseções:
  • Caso 1: (0,0).
  • Caso 2: \;x_{2}=0 e x_{1}=3\implies(3,0).
  • Caso 3: \;x_{2}=2 e x_{1}=x_{2}+3=5\implies(5,2).
  • Caso 4: (0,2).
Verifica-se que todos esses pontos satisfazem as outras desigualdades e que não há mais vértices. Logo os extremos são exatamente
(0,0),\quad(3,0),\quad(5,2),\quad(0,2).

Passo 4

Para escrever (1,1) como combinação convexa, escolhemos três vértices que formam um triângulo contendo (1,1), por exemplo (0,0), (5,2) e (0,2). Procuramos \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}\ge0 com \sum\lambda_{i}=1 tais que
(1,1) =\lambda_{1}(0,0)+\lambda_{2}(5,2)+\lambda_{3}(0,2).
Das componentes:
5\,\lambda_{2}=1\quad\Longrightarrow\quad\lambda_{2}=\tfrac15,
2\,\lambda_{2}+2\,\lambda_{3}=1\quad\Longrightarrow\quad2\bigl(\tfrac15+\lambda_{3}\bigr)=1 \;\Longrightarrow\;\lambda_{3}=\tfrac{3}{10},
\lambda_{1}=1-\lambda_{2}-\lambda_{3} =1-\tfrac15-\tfrac{3}{10}=\tfrac12.
Portanto
(1,1) =\tfrac12\,(0,0) +\tfrac15\,(5,2) +\tfrac{3}{10}\,(0,2),
todas as \lambda_{i} são não negativas e somam 1.

Resposta

(1) Um ponto extremo de X é aquele que não pode ser escrito como combinação convexa não trivial de outros pontos de X.
(2) Os pontos extremos são
(0,0),\;(3,0),\;(5,2),\;(0,2).
(3) Uma combinação convexa que representa (1,1) é
(1,1) =\tfrac12\,(0,0) +\tfrac15\,(5,2) +\tfrac{3}{10}\,(0,2).

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