Considere o seguinte PPL.
min & x1-3 x2 & x1+2 x2 <= 4 & 3 x1+2 x2 <= 6 & x1, x2 >= 0
(1) Resolva o problema (6)-(9) usando o método simplex. Considere como base inicial as colunas
(a_{3}) e
(a_{4}), associadas as variáveis de folgas
(x_{3}) (restrição 7 ) e
(x_{4}) (restrição 8).
(2) Qual a solução ótima?
(3) Qual o valor ótimo?

Passo 1

O enunciado é um problema de programação linear em duas variáveis
min z = x1 - 3x2
sujeito a
x1 + 2x2 <= 4, 3x1 + 2x2 <= 6, x1,x2>=0,
e pede resolução pelo método simplex, partindo da base inicial formada pelas variáveis de folga x3 e x4.

Passo 2

Como o simplex clássico trata maximização, definimos w = -z, de modo que
max w = -x1 + 3x2
Introduzindo folgas x3,x4, as restrições viram
x3 &= 4 - x1 - 2x2, x4 &= 6 - 3x1 - 2x2,
e a função-objetivo fica
w = -x1 + 3x2
Na base inicial, x3=4, x4=6, e x1=x2=0, com w=0.

Passo 3

Calculamos os custos reduzidos ( cj - zj) das não-básicas:
bar c1 = -1, bar c2 = 3
O mais positivo é bar c2=3, logo x2 entra. Fazemos o teste de razão mínima nas linhas de folga:
x32=42=2, x42=62=3
Menor razão é 2, então sai x3. Pivotamos na interseção da linha de x3 com a coluna de x2.

Passo 4

Após o pivô, obtemos a nova base x2,x4 e as equações:
x2 &= 2 - tfrac12x1 - tfrac12x3, x4 &= 2 - 2x1 + x3, w &= 6 - tfrac52x1 - tfrac32x3
Os custos reduzidos das não-básicas x1,x3 são ambos negativos, então a solução é ótima para a maximização de w, com w=6.

Passo 5

Voltando a z = -w, temos z = -6. Da base final x1=0, x3=0 e das equações da base:
x2=2, x4=2

Resposta

A solução ótima é (x1,x2) = (0,2).
O valor ótimo é min z = -6.

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