Cada integral abaixo representa o volume de um sólido. Descreva o sólido.
(a) pi integral0^pi / 2 sen^2 x d x.

Passo 1

O enunciado dá a integral
pi integral0^pi/2 sin^2x ,dx
e pede para descrever o sólido cujo volume é dado por essa integral. O conteúdo envolvido é o método dos discos (ou das seções transversais circulares) para sólidos de revolução.

Passo 2

Reconhecemos que, no método dos discos, o volume é
V = pi integrala^b [raio(x)]^2,dx
Aqui o integrando é sin^2x, o que sugere que o “raio” de cada disco perpendicular ao eixo x é r(x)=sin x.

Passo 3

A região que está sendo girada é a área limitada por
  1. y=sin x,
  2. y=0 (eixo x),
  3. x=0,
  4. x=tfracpi2.

Passo 4

Essa região é girada em torno do eixo x. Cada seção perpendicular ao eixo x é um círculo de raio sin x. Ao variar x de 0 a tfracpi2, obtemos um sólido que começa com raio zero em x=0, vai alargando até raio máximo 1 em x=tfracpi2, formando uma “ponta” em x=0 e um topo circular em x=tfracpi2.

Resposta

O sólido é o corpo obtido pela revolução da região sob a curva y=sin x entre x=0 e x=tfracpi2 ao redor do eixo x; suas seções transversais são discos de raio sin x.

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