- A solução do átomo de hidrogênio em física quântica conduz à equação de Laguerre de ordem
:
Só têm importância física as soluções regulares, expressas como série de Taylor:
.
(a) Encontre a relação de recorrência para os coeficientes
e obtenha uma fórmula para os
em função de
(b) Mostre que quando
é um inteiro não negativo apenas um número finito de termos são não nulos e a solução
se reduz a um polinômio, denotado por
. Tome
e obtenha assim os polinômios de Laguerre:
e
.
(a) Encontre a relação de recorrência para os coeficientes
(b) Mostre que quando
Passo 1
O enunciado dá a equação de Laguerre de ordem
:
e pede uma solução regular em série de Taylor
O conteúdo é séries de potências para equações diferenciais e usaremos expansão de
,
e
, ajustando índices para encontrar a relação de recorrência entre os
.
Passo 2
Escrevendo
e
Reindexando todas em potências
(com
ou
) obtemos para
isto é
Passo 3
Renumerando
vem, para
,
Iterando esta relação,
Passo 4
Se
é inteiro não negativo, para
o fator
faz
e daí todos
seguintes também nulos. A série termina em
, gerando o polinômio de Laguerre
com
.
Passo 5
Para
e
:
- : só
, logo
-
-
:
,
-
:
-
: