1. A solução do átomo de hidrogênio em física quântica conduz à equação de Laguerre de ordem p :
y^prime prime+1-xx y^prime+px y=0
Só têm importância física as soluções regulares, expressas como série de Taylor: y(x)= sumn=0^infty an x^n.
(a) Encontre a relação de recorrência para os coeficientes an e obtenha uma fórmula para os an em função de a0
(b) Mostre que quando p é um inteiro não negativo apenas um número finito de termos são não nulos e a solução y(x) se reduz a um polinômio, denotado por Lp(x). Tome a0=1 e obtenha assim os polinômios de Laguerre: L0(x), L1(x), L2(x) e L3(x).

Passo 1

O enunciado dá a equação de Laguerre de ordem p:
y''+1-xxy'+pxy=0
e pede uma solução regular em série de Taylor
y(x)=sumn=0^infty anx^n
O conteúdo é séries de potências para equações diferenciais e usaremos expansão de y, y' e y'', ajustando índices para encontrar a relação de recorrência entre os an.

Passo 2

Escrevendo
y'=sumn=1^infty n,anx^n-1, y''=sumn=2^infty n(n-1),anx^n-2,
e
1-xxy'=sumn=1^infty n,anx^n-2-sumn=1^infty n,anx^n-1, pxy=sumn=0^infty p,anx^n-1
Reindexando todas em potências x^k (com k=n-2 ou k=n-1) obtemos para k>=0
(k+2)(k+1)ak+2+(k+2)ak+2-(k+1)ak+1+p,ak+1=0,
isto é
(k+2)^2ak+2+(p-k-1)ak+1=0

Passo 3

Renumerando n=k+2 vem, para n>=1,
n^2an+(p-n+1)an-1=0 Longrightarrow an=n-1-pn^2;an-1
Iterando esta relação,
an =;a0prodm=1^nm-1-pm^2 =;a0,(-1)^n;p(p-1)cdots(p-n+1)(n!)^2

Passo 4

Se p é inteiro não negativo, para n=p+1 o fator (p-(p+1)+1)=0 faz ap+1=0 e daí todos an seguintes também nulos. A série termina em n=p, gerando o polinômio de Laguerre
Lp(x)=sumn=0^p anx^n,
com a0=1.

Passo 5

Para p=0,1,2,3 e a0=1:
- p=0: só a0=1, logo
L0(x)=1
- p=1:
;a1=(0-1)/1^2=-1,
L1(x)=1 - x
- p=2:
;a1=(0-2)/1^2=-2,; a2=(1-2)/4cdot(-2)=tfrac12,
L2(x)=1 - 2x + tfrac12x^2
- p=3:
;a1=-3,; a2=(1-3)/4cdot(-3)=tfrac32,; a3=(2-3)/9cdottfrac32=-tfrac16,
L3(x)=1 - 3x + tfrac32x^2 - tfrac16x^3

Resposta

L0(x)=1
L1(x)=1 - x
L2(x)=1 - 2x + dfrac12x^2
L3(x)=1 - 3x + dfrac32x^2 - dfrac16x^3

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