Considere o seguinte problema de contorno em um meio semi-infinito:
Interprete a solução no plano das variáveis (
). Analise o perfil da onda, considerando o processo de reflexão da onda na fronteira
.
Passo 1
Então, vamos lá! O problema que temos aqui envolve a equação da onda em um meio semi-infinito. Isso significa que estamos analisando como uma onda se propaga em uma região que se estende até o infinito em uma direção (no caso,
). Precisamos entender como a onda se comporta no plano das variáveis
e, especificamente, como ela reflete na fronteira
. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos da teoria das ondas e refletir a onda na fronteira usando condições de contorno apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação da onda dada:
Aqui,
representa a deslocação da onda em função da posição
e do tempo
. A equação nos diz como essa onda se propaga no tempo e no espaço.
Passo 3
As condições iniciais são:
Isso significa que, no instante inicial
, a onda está em repouso (
) e tem um perfil retangular entre
e
, com amplitude 1.
Passo 4
A condição de contorno na fronteira
é:
Essa é uma condição de Neumann, que implica que a inclinação da onda na fronteira é zero. Fisicamente, isso significa que não há fluxo de energia através da fronteira, levando à reflexão da onda sem inversão.
Passo 5
Para interpretar a solução, vamos pensar nas ondas que se propagam para a direita e para a esquerda. A velocidade da onda
está relacionada pela equação
, então
.
A condição inicial gera duas ondas: uma movendo-se para a direita a partir de
e outra a partir de
. Quando essas ondas atingem a fronteira
, elas refletem de volta. Devido à condição de Neumann, a onda refletida terá a mesma amplitude e forma.
Passo 6
No plano
, as ondas se propagam formando linhas inclinadas com inclinação determinada pela velocidade
. As ondas atingindo
refletem-se sem inversão, criando uma superposição das ondas incidentes e refletidas.
Passo 7
O perfil da onda no tempo evolui mostrando ondas que se movem para a direita e para a esquerda, refletindo-se continuamente na fronteira. A região entre
e
inicialmente em
se expande para ambas as direções, criando padrões de interferência devido às ondas refletidas.
Resposta
A solução no plano
mostra ondas que se propagam para a direita e para a esquerda com velocidade 2. Ao atingir a fronteira
, as ondas refletem-se sem inversão graças à condição
. O perfil da onda exibe ondas incidentes e refletidas que se sobrepõem, mantendo a amplitude original e propagando-se indefinidamente no meio semi-infinito.