Considere o seguinte problema de contorno em um meio semi-infinito:
& utt-4 uxx=0, (x, t) in R+ times R+, & u(x, 0)=ll 1, & se x in[1,2] 0, & se x notin[1,2] , ut(x, 0)=0, x in R+ & ux(0, t)=0, t in R+
Interprete a solução no plano das variáveis ( x, t). Analise o perfil da onda, considerando o processo de reflexão da onda na fronteira x=0.

Passo 1

Então, vamos lá! O problema que temos aqui envolve a equação da onda em um meio semi-infinito. Isso significa que estamos analisando como uma onda se propaga em uma região que se estende até o infinito em uma direção (no caso, ). Precisamos entender como a onda se comporta no plano das variáveis e, especificamente, como ela reflete na fronteira . Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos da teoria das ondas e refletir a onda na fronteira usando condições de contorno apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação da onda dada:
utt - 4uxx = 0
Aqui, representa a deslocação da onda em função da posição e do tempo . A equação nos diz como essa onda se propaga no tempo e no espaço.

Passo 3

As condições iniciais são:
u(x, 0) = 1, & se x in [1, 2] 0, & se x notin [1, 2] , ut(x, 0) = 0
Isso significa que, no instante inicial , a onda está em repouso ( ) e tem um perfil retangular entre e , com amplitude 1.

Passo 4

A condição de contorno na fronteira ux(0, t) = 0 é:
Essa é uma condição de Neumann, que implica que a inclinação da onda na fronteira é zero. Fisicamente, isso significa que não há fluxo de energia através da fronteira, levando à reflexão da onda sem inversão.

Passo 5

Para interpretar a solução, vamos pensar nas ondas que se propagam para a direita e para a esquerda. A velocidade da onda está relacionada pela equação , então .
A condição inicial gera duas ondas: uma movendo-se para a direita a partir de e outra a partir de . Quando essas ondas atingem a fronteira , elas refletem de volta. Devido à condição de Neumann, a onda refletida terá a mesma amplitude e forma.

Passo 6

No plano , as ondas se propagam formando linhas inclinadas com inclinação determinada pela velocidade . As ondas atingindo refletem-se sem inversão, criando uma superposição das ondas incidentes e refletidas.

Passo 7

O perfil da onda no tempo evolui mostrando ondas que se movem para a direita e para a esquerda, refletindo-se continuamente na fronteira. A região entre e inicialmente em se expande para ambas as direções, criando padrões de interferência devido às ondas refletidas.

Resposta

A solução no plano mostra ondas que se propagam para a direita e para a esquerda com velocidade 2. Ao atingir a fronteira , as ondas refletem-se sem inversão graças à condição . O perfil da onda exibe ondas incidentes e refletidas que se sobrepõem, mantendo a amplitude original e propagando-se indefinidamente no meio semi-infinito.

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