Resolva o seguinte problema de valor inicial:
& utt-uxx=0, (x, t) in R+^2, & u(x, 0)=ll 2, & se x in[2,4] 0, & se x notin[2,4] , ut(x, 0)=0, x in R
Interprete a solução no plano das variáveis (x, t). Encontre o domínio da influência D do intervalo I=[2,4]. Analise o perfil da onda.

Passo 1

Vamos resolver um problema de valor inicial para a equação das ondas, que é uma equação diferencial que descreve como as ondas se propagam no espaço e no tempo. Precisamos encontrar como a onda se comporta no plano das variáveis e , identificar a região onde a onda influencia, chamada de domínio de influência , e analisar o formato da onda resultante. Para isso, vamos utilizar métodos de resolução de equações diferenciais parciais, especificamente a fórmula de d’Alembert para a equação das ondas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados do problema. Temos a equação das ondas:
utt - uxx = 0,
com condições iniciais:
u(x, 0) = 2, & se x in [2,4], 0, & caso contrário, e ut(x, 0) = 0 para todo x á
Isso significa que, inicialmente, a forma da onda é uma função retangular que vale 2 no intervalo [2,4] e 0 fora desse intervalo, e a velocidade inicial da onda é zero em todo lugar.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula de d’Alembert para resolver a equação das ondas. A solução geral da equação u(x,t) = f(x + t) + f(x - t)2 + 12 integralx - t^x + t g(s) , ds com condições iniciais u(x,t) = f(x + t) + f(x - t)2 e é dada por:
No nosso caso, , então a segunda parte da fórmula desaparece, e a solução simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos substituir a condição inicial f(x) = 2, & se x in [2,4], 0, & caso contrário na fórmula. Sabemos que:
u(x,t) = f(x + t) + f(x - t)2 á
Portanto, a solução fica:
Isso significa que a onda em qualquer ponto e tempo é a média dos valores iniciais deslocados em e .

Passo 5

Vamos analisar a expressão e :
  • será 2 se , ou seja, se .
  • será 2 se , ou seja, se .
Caso contrário, e serão 0.

Passo 6

Portanto, a solução u(x,t) = 1, & se x - t in [2,4] e x + t in [2,4], 22 = 1, & se apenas um dos termos f(x pm t) for 2, 0, & se nenhum dos termos for 2 será:
Ou seja, a onda se propaga para a direita e para a esquerda a uma velocidade de 1 unidade de comprimento por unidade de tempo, mantendo a amplitude de 2 nas regiões onde a onda está presente.

Passo 7

Para encontrar o domínio de influência D = (x,t) mid |x - c| <= t, para c in [2,4] do intervalo , precisamos identificar todas as regiões onde a condição inicial influencia a solução. Como as ondas se propagam com velocidade 1, o domínio de influência será:
Isso resulta em um intervalo que se expande para a direita e para a esquerda a partir de e com o aumento de .

Passo 8

Analisando o perfil da onda, observamos que inicialmente temos uma região quadrada (retângulo) de amplitude 2 entre e . Com o tempo, essa região se divide em duas ondas que se movem para direções opostas (direita e esquerda) sem alterar a amplitude, mantendo sua forma retangular. Isso é típico da solução das ondas na equação linear das ondas quando as condições iniciais são funções retangulares.

Resposta

O domínio de influência do intervalo consiste em todas as regiões onde as ondas se propagam a partir de , formando um domínio triangular no plano . O perfil da onda apresenta duas ondas retangulares que se movem para a direita e para a esquerda a uma velocidade constante, mantendo a amplitude original de 2.

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