Interprete a solução no plano das variáveis . Encontre o domínio da influência do intervalo . Analise o perfil da onda.
Passo 1
Vamos resolver um problema de valor inicial para a equação das ondas, que é uma equação diferencial que descreve como as ondas se propagam no espaço e no tempo. Precisamos encontrar como a onda se comporta no plano das variáveis e , identificar a região onde a onda influencia, chamada de domínio de influência , e analisar o formato da onda resultante. Para isso, vamos utilizar métodos de resolução de equações diferenciais parciais, especificamente a fórmula de d’Alembert para a equação das ondas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados do problema. Temos a equação das ondas:
com condições iniciais:
Isso significa que, inicialmente, a forma da onda é uma função retangular que vale 2 no intervalo [2,4] e 0 fora desse intervalo, e a velocidade inicial da onda é zero em todo lugar.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula de d’Alembert para resolver a equação das ondas. A solução geral da equação com condições iniciais e é dada por:
No nosso caso, , então a segunda parte da fórmula desaparece, e a solução simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos substituir a condição inicial na fórmula. Sabemos que:
Portanto, a solução fica:
Isso significa que a onda em qualquer ponto e tempo é a média dos valores iniciais deslocados em e .
Passo 5
Vamos analisar a expressão e :
será 2 se , ou seja, se .
será 2 se , ou seja, se .
Caso contrário, e serão 0.
Passo 6
Portanto, a solução será:
Ou seja, a onda se propaga para a direita e para a esquerda a uma velocidade de 1 unidade de comprimento por unidade de tempo, mantendo a amplitude de 2 nas regiões onde a onda está presente.
Passo 7
Para encontrar o domínio de influência D = (x,t) mid |x - c| <= t, para c in [2,4] do intervalo , precisamos identificar todas as regiões onde a condição inicial influencia a solução. Como as ondas se propagam com velocidade 1, o domínio de influência será:
Isso resulta em um intervalo que se expande para a direita e para a esquerda a partir de e com o aumento de .
Passo 8
Analisando o perfil da onda, observamos que inicialmente temos uma região quadrada (retângulo) de amplitude 2 entre e . Com o tempo, essa região se divide em duas ondas que se movem para direções opostas (direita e esquerda) sem alterar a amplitude, mantendo sua forma retangular. Isso é típico da solução das ondas na equação linear das ondas quando as condições iniciais são funções retangulares.
Resposta
O domínio de influência do intervalo consiste em todas as regiões onde as ondas se propagam a partir de , formando um domínio triangular no plano . O perfil da onda apresenta duas ondas retangulares que se movem para a direita e para a esquerda a uma velocidade constante, mantendo a amplitude original de 2.