囲 Nos problemas seguintes determine
e
. Se o valor limite for infinito, indique se é
ou
. Use um recurso computacional para fazer os gráficos das funções dadas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para determinar os limites das funções dadas quando $ x $ tende a $ +\infty $ e $ -\infty $. Além disso, se o limite for infinito, precisamos dizer se é $ +\infty $ ou $ -\infty $. Para isso, vamos analisar o comportamento de cada função conforme $ x $ cresce muito, tanto positivamente quanto negativamente. Vamos precisar entender como funções polinomiais e racionais se comportam em valores extremos de $ x $.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
a) $ f(x) = x^{2} $
Quando $ x $ tende a $ +\infty $ ou $ -\infty $, o termo $ x^{2} $ sempre cresce sem limite, pois qualquer número ao quadrado é positivo e aumenta conforme $ |x| $ aumenta. Então:
Passo 3
b) $ f(x) = x^{3} - 4x^{2} - 4 $
Aqui, o termo de maior grau é $ x^{3} $. Quando $ x $ tende a $ +\infty $, $ x^{3} $ domina os outros termos e tende a $ +\infty $. Já quando $ x $ tende a $ -\infty $, $ x^{3} $ tende a $ -\infty $.
Passo 4
c) $ f(x) = (1 - 2x)(x + 5) $
Vamos primeiro expandir a função:
O termo de maior grau é $ -2x^{2} $. Quando $ x $ tende a $ +\infty $ ou $ -\infty $, $ -2x^{2} $ tende a $ -\infty $.
Passo 5
d) $ f(x) = \frac{x^{2} - 2x + 3}{2x^{2} + 5x + 1} $
Aqui temos uma função racional, onde o grau do numerador e do denominador é 2. Para encontrar os limites, comparamos os coeficientes principais:
Isso porque os termos $ x^{2} $ dominam tanto no numerador quanto no denominador, e a razão dos coeficientes é $ \frac{1}{2} $.
Passo 6
e) $ f(x) = \frac{x^{2} + x - 5}{1 - 2x - x^{3}} $
Novamente, analisamos os termos de maior grau. No numerador, o maior grau é 2, e no denominador é 3.
Quando o grau do denominador é maior que o do numerador:
Isso porque o denominador cresce mais rápido que o numerador, fazendo a fração tender a zero.
Passo 7
f) $ f(x) = \frac{1 - 2x^{3}}{x + 1} $
No numerador, o termo de maior grau é $ -2x^{3} $, e no denominador é $ x $. Como o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite será infinito. Observamos o sinal:
- Como o coeficiente de $ x^{3} $ é $ -2 $, e $ x $ tende a $ +\infty $, o limite será $ -\infty $.
- Quando $ x $ tende a $ -\infty $, $ -2x^{3} $ com $ x $ negativo resulta em $ +\infty $.
Resposta
a) $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $ e $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty $
b) $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $ e $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty $
c) $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty $ e $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty $
d) $ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \frac{1}{2} $
e) $ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0 $
f) $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty $ e $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty $