囲 Nos problemas seguintes determine lim x +infty f(x) e lim x -infty f(x). Se o valor limite for infinito, indique se é +infty ou -infty. Use um recurso computacional para fazer os gráficos das funções dadas.
a) f(x)=x^2
b) f(x)=x^3-4 x^2-4
c) f(x)=(1-2 x)(x+5)
d) f(x)=x^2-2 x+32 x^2+5 x+1
e) f(x)=x^2+x-51-2 x-x^3
f) f(x)=1-2 x^3x+1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para determinar os limites das funções dadas quando $ x $ tende a $ +\infty $ e $ -\infty $. Além disso, se o limite for infinito, precisamos dizer se é $ +\infty $ ou $ -\infty $. Para isso, vamos analisar o comportamento de cada função conforme $ x $ cresce muito, tanto positivamente quanto negativamente. Vamos precisar entender como funções polinomiais e racionais se comportam em valores extremos de $ x $.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:
a) $ f(x) = x^{2} $
Quando $ x $ tende a $ +\infty $ ou $ -\infty $, o termo $ x^{2} $ sempre cresce sem limite, pois qualquer número ao quadrado é positivo e aumenta conforme $ |x| $ aumenta. Então:
f(x) = x^2
x

Passo 3

b) $ f(x) = x^{3} - 4x^{2} - 4 $
Aqui, o termo de maior grau é $ x^{3} $. Quando $ x $ tende a $ +\infty $, $ x^{3} $ domina os outros termos e tende a $ +\infty $. Já quando $ x $ tende a $ -\infty $, $ x^{3} $ tende a $ -\infty $.
f(x) = x^3 - 4x^2 - 4
x^3

Passo 4

c) $ f(x) = (1 - 2x)(x + 5) $
Vamos primeiro expandir a função:
f(x) = (1 - 2x)(x + 5)
O termo de maior grau é $ -2x^{2} $. Quando $ x $ tende a $ +\infty $ ou $ -\infty $, $ -2x^{2} $ tende a $ -\infty $.
f(x) = (1)(x) + (1)(5) + (-2x)(x) + (-2x)(5) = x + 5 - 2x^2 - 10x = -2x^2 - 9x + 5
-2x^2

Passo 5

d) $ f(x) = \frac{x^{2} - 2x + 3}{2x^{2} + 5x + 1} $
Aqui temos uma função racional, onde o grau do numerador e do denominador é 2. Para encontrar os limites, comparamos os coeficientes principais:
f(x) = x^2 - 2x + 32x^2 + 5x + 1
Isso porque os termos $ x^{2} $ dominam tanto no numerador quanto no denominador, e a razão dos coeficientes é $ \frac{1}{2} $.

Passo 6

e) $ f(x) = \frac{x^{2} + x - 5}{1 - 2x - x^{3}} $
Novamente, analisamos os termos de maior grau. No numerador, o maior grau é 2, e no denominador é 3.
Quando o grau do denominador é maior que o do numerador:
f(x) = x^2 + x - 51 - 2x - x^3
Isso porque o denominador cresce mais rápido que o numerador, fazendo a fração tender a zero.

Passo 7

f) $ f(x) = \frac{1 - 2x^{3}}{x + 1} $
No numerador, o termo de maior grau é $ -2x^{3} $, e no denominador é $ x $. Como o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite será infinito. Observamos o sinal:
  • Como o coeficiente de $ x^{3} $ é $ -2 $, e $ x $ tende a $ +\infty $, o limite será $ -\infty $.
  • Quando $ x $ tende a $ -\infty $, $ -2x^{3} $ com $ x $ negativo resulta em $ +\infty $.
f(x) = 1 - 2x^3x + 1
-2x^3

Resposta

a) $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $ e $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty $
b) $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $ e $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty $
c) $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty $ e $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty $
d) $ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \frac{1}{2} $
e) $ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0 $
f) $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty $ e $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty $

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