Considere o seguinte problema: um fazendeiro com 1000 m de cerca quer cercar uma área retangular e então dividi-la em quatro partes com cercas paralelas a um lado do retângulo. Qual é a maior área total possível das quatro partes?
a) Faça um diagrama ilustrando a situação geral. Coloque uma notação e marque no diagrama seus símbolos (variáveis para os lados do retângulo).
b) Escreva uma expressão para a área total.
c) Use a informação dada para escrever uma equação que relacione as variáveis.
d) Use a parte © para escrever a área total como uma função de uma variável.
e) Resolva o problema
a) Faça um diagrama ilustrando a situação geral. Coloque uma notação e marque no diagrama seus símbolos (variáveis para os lados do retângulo).
b) Escreva uma expressão para a área total.
c) Use a informação dada para escrever uma equação que relacione as variáveis.
d) Use a parte © para escrever a área total como uma função de uma variável.
e) Resolva o problema
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos um fazendeiro que possui 1000 metros de cerca e quer cercar uma área retangular. Além disso, ele quer dividir essa área em quatro partes usando cercas paralelas a um dos lados do retângulo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria e otimização para encontrar a maior área possível que pode ser cercada com os materiais disponíveis.
Passo 2
Vamos imaginar a situação com mais detalhes. Pense em um retângulo onde:
- $ L $ representa o comprimento (um dos lados maiores).
- $ W $ representa a largura (um dos lados menores).
Além das cercas que formam o perímetro do retângulo, vamos precisar adicionar três cercas internas paralelas a um dos lados para dividir a área em quatro partes iguais. Essas cercas internas terão o mesmo comprimento da largura $ W $.
Passo 3
Agora, vamos escrever uma expressão para a área total que o fazendeiro quer cercar. A área $ A $ de um retângulo é dada por:
Essa expressão representa a área total das quatro partes, já que estamos apenas dividindo a área original com cercas internas sem alterar o total.
Passo 4
Vamos utilizar a informação da quantidade total de cerca disponível para relacionar $ L $ e $ W $. A quantidade total de cerca usada será a soma das cercas externas e internas. Temos:
- Cercas externas: duas vezes o comprimento $ L $ e duas vezes a largura $ W $.
- Cercas internas: três vezes a largura $ W $ (para dividir em quatro partes).
Portanto, a equação fica:
Passo 5
Vamos reescrever a área total $ A $ como uma função de uma única variável. Primeiro, resolvemos a equação anterior para $ L $:
Agora, substituímos $ L $ na expressão da área:
Para encontrar a máxima área, derivamos $ A(W) $ em relação a $ W $ e igualamos a zero:
Agora, substituímos $ W = 100 $ na equação de $ L $:
Resposta
A maior área total possível das quatro partes é de: