Determine a expansão em série de Taylor de
P(x)=x^3 em potências de x+2.

Passo 1

Queremos expandir P(x)=x^3 em série de Taylor em torno de x0=-2, ou seja, em potências de x+2. Para isso, vamos usar as derivadas de P avaliadas em -2 e a fórmula geral de Taylor.

Passo 2

A função é f(x)=x^3. Calculamos as derivadas e avaliamos em x=-2:
f'(x)=3x^2 f'(-2)=3cdot(-2)^2=12.
f''(x)=6x f''(-2)=6cdot(-2)=-12.
f'''(x)=6 f'''(-2)=6.
Derivadas de ordem maior que 3 são zero.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Taylor centrada em a=-2:
P(x)=f(-2)+f'(-2)(x+2)+f''(-2)2!(x+2)^2+f'''(-2)3!(x+2)^3+dots
Substituindo os valores:
P(x)=-8+12(x+2)+-122(x+2)^2+66(x+2)^3+0cdot(x+2)^4+dots

Passo 4

Basta agora simplificar os coeficientes de cada termo em potências de x+2.

Resposta

P(x)=-8+12(x+2)-6(x+2)^2+(x+2)^3

Exercícios relacionados