Determine os seguintes limites:
lim x 2^- x+4-x^2+x+2

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite unilaterial xto2^- de uma função racional. O assunto envolve limites e comportamento de funções quando o denominador se aproxima de zero. Para resolver, vamos identificar valores do numerador e denominador em x=2, fatorar o denominador e examinar o sinal das parcelas quando x<2.

Passo 2

Calculamos o numerador e o denominador em x=2: o numerador fica 2+4=6, enquanto o denominador é
-2^2+2+2 = -4+2+2 = 0
Isso indica que a fração tende a uma indeterminação do tipo 60, ou seja, diverge.

Passo 3

Para entender melhor o comportamento, fatoramos o denominador:
-x^2 + x + 2 = -(x^2 - x - 2) = -(x-2)(x+1)
Assim a função vira
$$
frac{x+4}{-x^2 + x + 2} =
frac{x+4}{-(x-2)(x+1)}.
$$

Passo 4

Como estamos considerando xto2^-, temos x<2. Então:
  • x+4>0 pois vale cerca de 6 na vizinhança de 2.
  • x-2<0 porque vem de valores menores que 2.
  • x+1>0 pois xapprox2.
    Logo (x-2)(x+1)<0 e com o sinal negativo externo o denominador é positivo e tende a zero pela direita ( 0^+).

Passo 5

Como o numerador tende a um número positivo ( 6) e o denominador tende a 0^+, a fração cresce sem limite, e o limite é positivo infinito.

Resposta

+\infty

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