Considere o seguinte problema de programação linear.
min & x1-2 x2-3 x3 & -x1+3 x2+x3 <= 13 & x1+2 x2+3 x3 >= 12 & 2 x1-x2+x3=4 & x1, x2 in R & x3 <=-3
(1) Reformule o problema tal que ele esteja no formato padrão.

Passo 1

O enunciado pede para minimizar
x1-2x2-3x3
sujeito a
-,x1+3x2+x3&<=13, x1+2x2+3x3&>=12, 2x1-x2+x3&=4,
com x1,x2 livres e x3<=-3.
Queremos a forma padrão de programação linear: minimizar uma função linear, todas as restrições em igualdade e todas as variáveis >=0.

Passo 2

Para remover o limite x3<=-3, definimos
y = -,x3 - 3,
de modo que y>=0 e x3=-,y-3. Substituindo em todas as expressões:
Objetivo
x1-2x2-3x3 = x1-2x2-3(-y-3) = x1-2x2+3y+9
Ignoramos a constante +9, pois não muda o ponto ótimo, e ficamos com
min z = x1-2x2+3y
Restrições originais tornam-se
-,x1+3x2+(-y-3)&<=13 ;Longrightarrow;-,x1+3x2-y=16(<= virou =16), x1+2x2+3(-y-3)&>=12 ;Longrightarrow;x1+2x2-3y=21(>= virou =21), 2x1-x2+(-y-3)&=4 ;Longrightarrow;2x1-x2-y=7

Passo 3

Transformamos as duas desigualdades em igualdades introduzindo variáveis de folga/excedente s1,s2>=0:
-,x1+3x2-y + s1 &=16, x1+2x2-3y - s2 &=21, 2x1-x2-y &=7

Passo 4

Como x1 e x2 são livres, escrevemos
x1 = x1' - x1'', x2 = x2' - x2'',
com x1',x1'',x2',x2''>=0. Substituindo no objetivo e nas restrições:
Objetivo
min z = (x1'-x1'') - 2(x2'-x2'') + 3y = x1' - x1'' - 2x2' + 2x2'' + 3y
Restrições
-,l(x1'-x1''r) +3l(x2'-x2''r) - y + s1 =16, -,l(x1'-x1''r) +2l(x2'-x2''r) -3y - s2 =21, 2l(x1'-x1''r) - l(x2'-x2''r) - y =7

Resposta

Em forma padrão—todas igualdades e todas as variáveis não-negativas—fica
min z = x1' - x1'' - 2x2' + 2x2'' + 3y
sujeito a
-,l(x1' - x1''r) +3l(x2' - x2''r) - y + s1 =16, -,l(x1' - x1''r) +2l(x2' - x2''r) -3y - s2 =21, 2l(x1' - x1''r) - l(x2' - x2''r) - y =7,
com
x1',,x1'',,x2',,x2'',,y,,s1,,s2;>=;0

Exercícios relacionados