Sejam a, b, z in C, com z neq 0. Considerando os valores principais das potências envolvidas, mostre as igualdades abaixo:
z^az^b=z^a-b

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, no contexto de potências complexas definidas pelo ramo principal do logaritmo, que para a,b,zinC com zneq0 vale
z^az^b=z^,a-b
O conteúdo usado será a definição de z^w em termos do exponencial e do logaritmo principal de z.

Passo 2

Lembrando a definição de potência complexa com ramo principal do logaritmo, temos
onde
com .

Passo 3

Usando essas expressões, calculamos a divisão:
z^az^b = e^,a,Log,ze^,b,Log,z = e^,a,Log,z - b,Log,z = e^,(a - b),Log,z

Passo 4

Pelo mesmo motivo de definição, o último termo é justamente
e^,(a - b),Log,z = z^,a-b

Resposta

z^az^b = z^,a-b

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