Considere o seguinte problema sem restrições
1.
(i) Encontre, se existir, uma direção de descida para a função
.
No ponto (
).
(ii) Encontre, se existir, uma solução do problema. Esta solução, caso existir, é global? Justifique!
1.
(ii) Encontre, se existir, uma solução do problema. Esta solução, caso existir, é global? Justifique!
Passo 1
Beleza, o exercício é de otimização sem restrições: minimizar
(i) Pede uma direção de descida no ponto
.
(ii) Pede a(s) solução(ões) do problema e se é global.
Vamos usar cálculo multivariável: derivadas parciais, gradiente, teste de ponto crítico e comparação de valores.
(ii) Pede a(s) solução(ões) do problema e se é global.
Vamos usar cálculo multivariável: derivadas parciais, gradiente, teste de ponto crítico e comparação de valores.
Passo 2
Pra achar direção de descida a gente primeiro calcula o gradiente de
. Lembra que, em geral,
Defina
então
. Usando regra do produto e cadeia:
Analogamente
Agora avalia em
: ali
e
, mas todos os termos vêm multiplicados por
,
ou
. Logo
Quando
, o ponto é crítico e a derivada direcional
é zero para qualquer
. Isso significa que não existe direção de descida em
– é um ponto estacionário.
Passo 3
Agora vamos achar a solução do problema, ou seja, o(s) ponto(s) que minimizam
. Tudo que é extremo sem restrições sai de
. Temos as equações:
Elas dizem:
- ou
ou , - ou
ou , - ou
ou .
Resolvendo combinações, os pontos críticos são:
Vamos comparar
em cada um:
-
. -
. -
. -
.
Como
pra todo ponto (é produto de quadrado por exponencial positiva), o menor valor é 0, obtido só em
. Logo a solução do problema é
.
Resposta
(i) Em
não existe direção de descida porque
.
(ii) O único minimizador é , com
. Como
em toda parte, esse é mínimo global.
(ii) O único minimizador é