Considere o seguinte problema sem restrições
1.
minimizar f(x, y, z)=(x^2+2 y^2+3 z^2) e^-(x^2+y^2+z^2)
(i) Encontre, se existir, uma direção de descida para a função f(x, y, z).
No ponto ( 0,0,0 ).
(ii) Encontre, se existir, uma solução do problema. Esta solução, caso existir, é global? Justifique!

Passo 1

Beleza, o exercício é de otimização sem restrições: minimizar
f(x,y,z) = (x^2+2y^2+3z^2),e^-(x^2+y^2+z^2)
(i) Pede uma direção de descida no ponto .
(ii) Pede a(s) solução(ões) do problema e se é global.
Vamos usar cálculo multivariável: derivadas parciais, gradiente, teste de ponto crítico e comparação de valores.

Passo 2

Pra achar direção de descida a gente primeiro calcula o gradiente de nabla f = l(tfracpartial fpartial x,,tfracpartial fpartial y,,tfracpartial fpartial zr) . Lembra que, em geral,
g(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2, r^2 = x^2+y^2+z^2,
Defina
partialx f = e^-r^2,partialx g ;+; g,partialx(e^-r^2) = e^-r^2(2x);+; g,(e^-r^2)(-2x) =2x,e^-r^2l(1 - gr)
então partialy f = 2y,e^-r^2l(2 - gr), partialz f = 2z,e^-r^2l(3 - gr) . Usando regra do produto e cadeia:
nabla f(0,0,0) = (0,0,0)
Analogamente
Agora avalia em : ali e , mas todos os termos vêm multiplicados por , ou . Logo
Quando , o ponto é crítico e a derivada direcional é zero para qualquer . Isso significa que não existe direção de descida em – é um ponto estacionário.

Passo 3

Agora vamos achar a solução do problema, ou seja, o(s) ponto(s) que minimizam 2x(1 - g)=0, 2y(2 - g)=0, 2z(3 - g)=0 . Tudo que é extremo sem restrições sai de (0,0,0),;(pm1,0,0),;(0,pm1,0),;(0,0,pm1) . Temos as equações:
Elas dizem:
  • ou ou ,
  • ou ou ,
  • ou ou .
Resolvendo combinações, os pontos críticos são:
Vamos comparar em cada um:
  • .
  • .
  • .
  • .
Como pra todo ponto (é produto de quadrado por exponencial positiva), o menor valor é 0, obtido só em . Logo a solução do problema é .

Resposta

(i) Em não existe direção de descida porque .
(ii) O único minimizador é , com . Como em toda parte, esse é mínimo global.

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